定义

循环小数即为有理数的小数表示形式，例：

54=1.25=1.25000000⋯ ⋯ -->=1.250¯ ¯ -->{\displaystyle {5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots =1.25{\overline {0}}}

13=0.3333333⋯ ⋯ -->=0.3¯ ¯ -->{\displaystyle {1 \over 3}=0.3333333\cdots =0.{\overline {3}}}

17=0.142857142857⋯ ⋯ -->=0.142857¯ ¯ -->{\displaystyle {1 \over 7}=0.{\color {red}142857}{\color {blue}142857}\cdots =0.{\overline {142857}}}

性质

一个分母为N的循环小数的循环节位数最多不超过N-1位。

除数a为2m5n{\displaystyle 2^{m}5^{n}}的倍数时，1÷ ÷ -->a{\displaystyle 1\div a}有max(m,n)个不循环位数。

如果1⩽ ⩽ -->ba{\displaystyle b\div a}的循环节位数等于min⁡ ⁡ -->{e∈ ∈ -->N:10e≡ ≡ -->1(moda)}{\displaystyle \operatorname {min} \left\{e\in \mathbb {N} :10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}\right\}}。（10e≡ ≡ -->1(moda){\displaystyle 10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}}表示10e− − -->1{\displaystyle 10^{e}-1}可以整除a）

化为分数的方法

先看有几位“非循环节位数（n{\displaystyle {\color {blue}n\,\!}}）”和“循环节位数（m{\displaystyle {\color {red}m\,\!}}）”，算出后，将999⋯ ⋯ -->9⏟ ⏟ -->m000⋯ ⋯ -->0⏟ ⏟ -->n{\displaystyle {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}摆于“分母”。

“分子”则是将“非循环节部分”和“循环节部分”并为一个数字，将其减去“非循环节部分”，即a1a2a3⋯ ⋯ -->anb1b2b3⋯ ⋯ -->bm− − -->a1a2a3⋯ ⋯ -->an{\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}}，详细公式如下。

公式：0.a1a2a3⋯ ⋯ -->anb1b2b3⋯ ⋯ -->bm¯ ¯ -->=a1a2a3⋯ ⋯ -->anb1b2b3⋯ ⋯ -->bm− − -->a1a2a3⋯ ⋯ -->an999⋯ ⋯ -->9⏟ ⏟ -->m000⋯ ⋯ -->0⏟ ⏟ -->n{\displaystyle 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{\color {blue}n\,\!}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{\color {red}m\,\!}}}={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}}

原理：

范例：0.123¯ ¯ -->=123− − -->1990=61495{\displaystyle 0.1{\overline {23}}={\frac {123-1}{990}}={\frac {61}{495}}}。

计算方法

利用短除法可以将分数(有理数，Q{\displaystyle \mathbb {Q} })转化为循环小数。

例如37{\displaystyle {\frac {3}{7}}}可以用短除法计算如下：

表示方法

在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。

使用“上划线”表示，如：

170=0.0142857¯ ¯ -->{\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\overline {142857}}}

使用“上点”表示，如：

170=0.01˙ ˙ -->42857˙ ˙ -->{\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\dot {1}}4285{\dot {7}}}

使用“大括号”表示，如：

170=0.0{142857}{\displaystyle {1 \over 70}=0.0\{142857\}}

缺点

不唯一性

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如1.000000⋯ ⋯ -->=1.0¯ ¯ -->=0.9¯ ¯ -->=0.999999⋯ ⋯ -->{\displaystyle 1.000000\cdots =1.{\overline {0}}=0.{\overline {9}}=0.999999\cdots }

与进位制系统密切相关

由于循环小数与进位制系统密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如117=0.05882352941176470588235294117647⋯ ⋯ -->=0.0588235294117647¯ ¯ -->{\displaystyle {1 \over 17}=0.{\color {red}0588235294117647}{\color {blue}0588235294117647}\cdots =0.{\overline {0588235294117647}}}

但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。如117=111(16)=0.0F0F⋯ ⋯ -->(16)=0.0F¯ ¯ -->(16){\displaystyle {1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color {red}0F}{\color {blue}0F}\cdots _{(16)}=0.{\overline {0F}}_{(16)}}

参见

证明0.999...等于1

Midy定理

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