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平面几何投影

正交投影

正交投影是一系列用于显示三维物体的轮廓、细节或精确测量结果的变换方法。通常又被称作plan、截面图、鸟瞰图或立面图。

当视平面的法向（即摄像机的朝向）平行于笛卡尔坐标系三根坐标轴中的一根，数学变换定义如下： 若使用一个平行于y轴（侧视图）的正交投影将三维点ax{\displaystyle a_{x}}, ay{\displaystyle a_{y}}, az{\displaystyle a_{z}}投影到二维平面上得到二维点bx{\displaystyle b_{x}}, by{\displaystyle b_{y}}，可以使用如下公式

其中向量s是一个任意的缩放因子，而c是一个任意的偏移量。这些常量可自由选择，通常用于将视口调整到一个合适的位置。该投影变换同样可以使用矩阵表示（为清晰起见引入临时向量d）

虽然正交投影产生的图像在一定程度上反映了物体的三维特性，但此类投影图像和实际观测到的并不相同。特别是对于相同长度的平行线段，无论离虚拟观察者（摄像机）远近与否，它们都会在正交投影中显示为相同长度。这会导致较近的线段看起来被缩短了。

透视投影

透视投影的定义更为复杂。可以将其理解为透过摄像机取景器对于被投影物体进行观察。摄像机的位置、朝向和视野都将影响投影变换的结果。我们定义以下变量来对这一变换进行描述：

ax,y,z{\displaystyle \mathbf {a} _{x,y,z}}：将被投影的三维空间中的点。

cx,y,z{\displaystyle \mathbf {c} _{x,y,z}}：摄像机的位置。

θ θ -->x,y,z{\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}}：摄像机的旋转角度。当 cx,y,z{\displaystyle \mathbf {c} _{x,y,z}}=且 θ θ -->x,y,z{\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}}=, 三维向量将被投影到二维向量。

ex,y,z{\displaystyle \mathbf {e} _{x,y,z}}：观测者相对显示平面的位置。

最终结果为：

bx,y{\displaystyle \mathbf {b} _{x,y}}：a{\displaystyle \mathbf {a} }所产生的二维投影。

首先我们定义点dx,y,z{\displaystyle \mathbf {d} _{x,y,z}}作为点a{\displaystyle \mathbf {a} }向摄像机坐标系所作的变换，其中摄像机坐标系由摄像机的位置c{\displaystyle \mathbf {c} }和旋转θ θ -->x,y,z{\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}}所决定。该过程为：先用a{\displaystyle \mathbf {a} }减去c{\displaystyle \mathbf {c} }，然后使用由− − -->θ θ -->{\displaystyle -\mathbf {\theta } }产生的旋转矩阵乘上该结果。该变换通常称为摄像机变换(注意该计算过程假设使用左手法则)：

或者使用以下这种非矩阵表示的形式，其中角度的正负号与矩阵表示形式不同：

然后将变换后的该点通过以下方程投影到二维平面（此处投影平面为x/y平面，有时也使用x/z）:

或在齐次坐标系下可以表示为：

和

观测者到显示平面的距离，ez{\displaystyle \mathbf {e} _{z}}，直接关系到视野的大小。α α -->=2⋅ ⋅ -->tan− − -->1⁡ ⁡ -->(1/ez){\displaystyle \alpha =2\cdot \tan ^{-1}(1/\mathbf {e} _{z})}为可视角度。（这里假设屏幕的两角为(-1,-1)和(1,1)）

如果要在一些特定的显示设备上显示该二维平面，之后还要进行一些必要的剪裁和缩放操作。

图示

计算三维空间中位于Ax，Az的点在屏幕坐标x轴的位置：

screen x coordinate (Bx) = model x coordinate (Ax)× × -->distance from eye to screen (Bz)distance from eye to point (Az){\displaystyle screen\ x\ coordinate\ (Bx)\ =\ model\ x\ coordinate\ (Ax)\times {\frac {distance\ from\ eye\ to\ screen\ (Bz)}{distance\ from\ eye\ to\ point\ (Az)}}}

对于y轴同样有:

screen y coordinate (By) = model y coordinate (Ay)× × -->distance from eye to screen (Bz)distance from eye to point (Az){\displaystyle screen\ y\ coordinate\ (By)\ =\ model\ y\ coordinate\ (Ay)\times {\frac {distance\ from\ eye\ to\ screen\ (Bz)}{distance\ from\ eye\ to\ point\ (Az)}}}

(其中Ax和Ay是透视转换前物体在空间中的坐标)

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