计算电势能

在一个物理系统内，计算一个点电荷所具有的电势能的方法，就是计算将这点电荷Q从无穷远位置迁移到其它固定位置电荷附近所需要做的机械功。而这计算只需要两项资料：

其它电荷所产生的电势。

这点电荷Q的电荷量。

注意到这计算不需要知道其它电荷的电荷量，也不需要知道这点电荷Q所产生的电势。

储存于点电荷系统内的电势能

单点电荷系统

只拥有单独一个点电荷的物理系统，其电势能为零，因为没有任何其它可以产生电场的源电荷，所以，将点电荷从无穷远移动至其最终位置，外机制不需要对它做任何机械功。特别注意，这点电荷有可能会与自己生成的电场发生作用。然而，由于在点电荷的位置，它自己生成的电场为无穷大，所以，在计算系统的有限总电势能之时，一般刻意不将这“自身能”纳入考量范围之内，以简化物理模型，方便计算。

双点电荷系统

一个质子受到的另一个质子的电场力和电势能随 r {\displaystyle r}

变化的示意图。

思考两个点电荷所组成的物理系统。假设第一个点电荷 q 1 {\displaystyle q_{1}} 的位置为坐标系的原点 O {\displaystyle \mathbf {O} } ，则根据库仑定律，点电荷 q 1 {\displaystyle q_{1}} 施加于位置为 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的第二个点电荷 q 2 {\displaystyle q_{2}} 的电场力为

其中， ϵ ϵ --> 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 是电常数。

在迁移点电荷 q 2 {\displaystyle q_{2}} 时，为了要抗拒电场力，外机制必需施加作用力 − − --> F c {\displaystyle -\mathbf {F} _{c}} 于点电荷 q 2 {\displaystyle q_{2}} 。所以，机械功 W {\displaystyle W} 为

由于库仑力为保守力，机械功与积分路径 L {\displaystyle \mathbb {L} } 无关，所以，可以选择任意一条积分路径。在这里，最简单的路径为从无穷远位置朝着 − − --> r ^ ^ --> {\displaystyle -{\hat {\mathbf {r} }}} 方向迁移至 r {\displaystyle \mathbf {r} } 位置的直线路径。那么，机械功为

这机械功是无穷远位置与 r {\displaystyle \mathbf {r} } 位置之间的静电能差别：

设定 U ( ∞ ∞ --> ) = 0 {\displaystyle U(\infty )=0} ，则

现在，假设两个点电荷的位置分别为 r 1 {\displaystyle \mathbf {r} _{1}} 、 r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{2}} ，则电势能为

其中， r 12 = | r 2 − − --> r 1 | {\displaystyle r_{12}=|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|} 是两个点电荷之间的距离。

假设两个点电荷的正负性相异，则电势能为负值，两个点电荷会互相吸引；否则，电势能为正值，两个点电荷会互相排斥。

三个以上点电荷的系统

对于三个点电荷的系统，外机制将其每一个单独点电荷，一个接着一个，从无穷远位置迁移至最终位置，所需要做的机械功，就是整个系统的静势能。以方程表示，

其中， q 1 , q 2 , q 3 {\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}} 为点电荷， r i j {\displaystyle r_{ij}} 为第i个与第j个点电荷之间的距离。

按照这方法演算，对于多个点电荷的系统，按照顺序，从第一个点电荷到最后一个点电荷，各自缓慢迁移到最后对应位置。在第 i {\displaystyle i} 个点电荷 q i {\displaystyle q_{i}} 迁移时，只会感受到从第 1 {\displaystyle 1} 个点电荷到第 i − − --> 1 {\displaystyle i-1} 个点电荷的电场力，而机械功 W i {\displaystyle W_{i}} 是因为抗拒这些电场力而做出的贡献：

所有点电荷做出的总机械功（即总电势能）为

将每一个项目重复多计算一次，然后将总合除以 2 {\displaystyle 2} ，这公式也可以表达为，

这样，可以忽略点电荷的迁移顺序。

注意到除了点电荷 q i {\displaystyle q_{i}} 以外，所有其它点电荷产生的电势在位置 r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 为

所以，离散点电荷系统的总电势能为

上述方程假设电介质是自由空间，其电容率为 ϵ ϵ --> 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} ，即电常数。假设电介质不是自由空间，而是电容率为 ϵ ϵ --> {\displaystyle \epsilon } 的某种电介质，则必需将方程内的 ϵ ϵ --> 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 更换为 ϵ ϵ --> {\displaystyle \epsilon } 。

储存于连续电荷分布的能量

对于连续电荷分布，前面的电势能方程变为

其中， ρ ρ --> ( r ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} )} 是在源位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的电荷密度， V {\displaystyle \mathbb {V} } 是积分体积。

应用高斯定律

其中， E {\displaystyle \mathbf {E} } 是电场。

电势能为

应用散度定理，可以得到

其中， S {\displaystyle \mathbb {S} } 是包住积分体积 V {\displaystyle \mathbb {V} } 的闭曲面。

当积分体积 V {\displaystyle \mathbb {V} } 趋向于无限大时，闭曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的面积趋向于以变率 r 2 {\displaystyle r^{2}} 递增，而电场、电势分别趋向于以变率 1 / r 2 {\displaystyle 1/r^{2}} 、 1 / r {\displaystyle 1/r} 递减，所以，上述方程右手边第一个面积分项目趋向于零，电势能变为

电场与电势的微分关系为

将这方程代入，电势能变为

所以，电势能密度 u {\displaystyle u} 为

自身能与相互作用能

前面分别推导出两个电势能方程：

注意到第一个方程计算得到的电势能，可以是正值，也可以是负值；但从第一个方程推导出来的第二个方程，其计算得到的电势能则必定是正值。为什么会发生这不一致问题？原因是第一个方程只囊括了电荷与电荷之间的相互作用能；而第二个方程在推导过程中，无可避免地将电荷的自身能也包括在内。在推导第一个方程时，在位置 r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 的电势乃是，除了 q i {\displaystyle q_{i}} 以外，所有其它电荷共同贡献出的电势；而在推导第二个方程时，电势乃是所有电荷共同贡献出的电势。

举一个双点电荷案例，假设电荷 q 1 {\displaystyle q_{1}} 、 q 2 {\displaystyle q_{2}} 的位置分别为 r 1 {\displaystyle \mathbf {r} _{1}} 、 r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{2}} ，则在任意位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的电场为

其电势能密度为

很明显地，这方程右手边的前两个项目分别为电荷 q 1 {\displaystyle q_{1}} 、 q 2 {\displaystyle q_{2}} 的自身能密度 ϵ ϵ --> 0 E 1 2 / 2 {\displaystyle \epsilon _{0}E_{1}\,^{2}/2} 、 ϵ ϵ --> 0 E 2 2 / 2 {\displaystyle \epsilon _{0}E_{2}\,^{2}/2} 。最后一个项目是否为相互作用能密度？为了回答这有意思的问题，继续计算相互作用能密度的体积积分：

应用一条矢量恒等式，

可以得到

应用散度定理，可以将这方程右手边第一个项目，从体积积分变为面积积分：

其中， S {\displaystyle \mathbb {S} } 是包住积分体积 V {\displaystyle \mathbb {V} } 的闭曲面。

假设 V {\displaystyle \mathbb {V} } 趋向于无穷大空间，则这面积积分趋向于零。再应用一则关于狄拉克δ函数的矢量恒等式

可以得到

这正是双点电荷系统的电势能。

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