历史

 保罗·狄拉克

辐射与物质间相互作用的第一套量子理论，是由英国物理学家保罗·狄拉克提出的，他在1920年代就成功计算出原子的自发发射系数 。

狄拉克用一整组的谐振子，加上新开发的粒子创生及消灭算符，成功地描述了电磁场的量子化。在之后的几年，沃尔夫冈·泡利、尤金·维格纳、帕斯库尔·约当、维尔纳·海森堡都在这方面作出了贡献，还有恩里科·费米更提出了一套优雅的量子电动力学表述 ，至此物理学家开始相信，原则上他们可以计算出所有涉及光子及带电粒子的物理过程。然而，费利克斯·布洛赫和阿诺德·诺德西克（Arnold Nordsieck） ，与维克托·魏斯科普夫 于1937年及1939年的后续研究发现，这样的计算只能在一阶摄动理论上获得可靠结果，而这个问题罗伯特·奥本海默早在1930年已经指出了 。在高阶时，数列现无限，使得计算完全没有意义，因此物理学家相当怀疑这套理论是否真的具有一致性。而当时对此并无答案，这个问题的产生，似乎是因为狭义相对论与量子理论在基础上并不相容。

 汉斯·贝特

这套理论的难度在四十年代末期继续提升。微波科技的进步，使得物理学家能够更准确地测量出氢原子的能阶转移 ，即现今的兰姆位移及电子磁矩 。这些实验明确地揭露了当时理论所未能解释的差异。

突破的可能点由汉斯·贝特于1940年代末率先提出。1947年，他在谢尔特岛（Shelter Island）研讨会上讲完有关能阶位移的讲座之后，就从纽约乘火车到斯克内克塔迪，期间他成功完成了第一份氢原子线位移的非相对论性计算，这种位移是由威利斯·兰姆与 罗伯特·雷瑟福 （ 英语 ： Robert Retherford ） 所测量出来的 。尽管这份计算有它的局限，但是计算结果还是与实验相当一致。在实验中，质量和电荷被定为一个有限值，而这个计算的独创性就在于，直接把无限置于质量和电荷的修正值中。这样做的话，无限就会被这些常数所吸收，从而得出与实验相符的有限值。这个步骤叫重整化。

 理查德·费曼（中）与罗伯特·奥本海默（右），摄于洛斯阿拉莫斯国家实验室。

基于贝特的直觉，朝永振一郎 、朱利安·施温格 、理查德·费曼 及弗里曼·戴森 发表了多分量子电动力学的基础论文，得出完全协变的表述，终于使任意阶的量子电动力学摄动数列变得有限。因这方面的贡献，朝永振一郎、朱利安·施温格与理查德·费曼共同获得了1965年的诺贝尔物理学奖 。他们三人的贡献，还有弗里曼·戴森的，是关于量子电动力学的协变与规范不变表述，这种表述使得物理学家们可以在任意阶的摄动数列中计算出可观测量。费曼的数学技巧，是基于他本人所创的图，看起来好像跟施温格与朝永的解题方法非常不同，他们用的是基于场论及算符的方法。但后来弗里曼·戴森证明了这两套方法其实是相同的 。量子电动力学需要透过积分，为理论中的某些发散赋予物理意义，这个需要就是重整化，它成为了量子场论的一项基础，后来更成为一套理论是否能被认受的判据。尽管计算上重整化的效用是出奇地好，费曼从来都没有对它的数学有效性有十足的信心，他甚至把重整化叫做“骗局”及“花招” 。

时至今日，量子电动力学已经成了后来所有量子场论的模范与模板。其中一个后续理论就是量子色动力学，它的研究从1960年代开始，在休·波利策、西德尼·科尔曼、戴维·格娄斯与弗朗克·韦尔切克的贡献下，于1975年达至现在的形态。谢尔登·格拉肖、史蒂文·温伯格与阿卜杜勒·萨拉姆各自独立地证明了弱核力与量子电动力学，是可以统一成单一的一种电弱力，而这项研究是基于多位物理学家的前瞻性贡献，其中包括朱利安·施温格、杰拉德·古拉尼、卡尔·哈庚和汤姆·基博尔 、彼得·希格斯、杰弗里·戈德斯通等。

费曼的量子电动力学观

简介

费曼在临终前的几年，为了未受过科学训练的群众，主讲了一系列有关量子电动力学的讲座。这些讲座被抄录下来，并结集成书，于1985年出版，书名为《QED：光和物质的奇异性》 ，该书没有使用数学来阐明量子电动力学，是此领域重要的科学普及著作。其观点如下。

费曼对量子电动力学的说明中，有一项关键，那就是三个基本作用 ：

一光子从一时间地点，移动到另一时间地点

一电子从一时间地点，移动到另一时间地点

一电子在某一时间地点，发射或吸收一光子

 费曼图的元素

这些作用可以用图像表示，也就是费曼图的三种基本元素：波浪线代表光子，直线代表电子，两直线与一波浪线的交汇处代表电子发射或吸收光子的顶点。见右图。

重点是，不要过度诠释这些图。不要从这些图中引申出粒子是如何从一点移动到另一点的。这些图并没有代表着粒子会以直线或曲线移动。它们也不代表粒子会以固定速度行进。按惯例使用波浪线代表光子的这件事，并不意味着认定光子比电子更像波。这些图只是单纯代表上述作用的符号：光子和电子确实会以某种方式从一点移动到另一点，而电子也确实会以某种方式发射及吸收光子。实际上人们尚未能这些事是如何发生的，但是理论会计算出这些事发生的概率。

费曼除了介绍了这些作用的图像表示之外，还为一个数量提供了另一种表示方式，这个数量叫概率幅。概率幅的平方就是概率。假设一光子由一时间空间——标记为A——移动到另一时间空间——标记为B——那么费曼就会用 P ( A → → --> B ) {\displaystyle P(A\rightarrow B)} 来表示光子概率幅。另一个相近的量，电子从C移动到D的概率幅，则会被写成 E ( C → → --> D ) {\displaystyle E(C\rightarrow D)} 。而发射或吸收光子的概率幅，费曼把它叫 j {\displaystyle j} 。这个量与测量出的电荷 e {\displaystyle e} 有关，但并不一样 。

量子电动力学是基于一个假设的，就是假设所有多个电子与光子间的复杂相互作用，都能够以适当地组合上述三种构成要素来代表，然后以概率幅计算出这些复杂相互作用的概率。原来只需要假设前面提到的概率幅（ P ( A → → --> B ) {\displaystyle P(A\rightarrow B)} 、 E ( C → → --> D ) {\displaystyle E(C\rightarrow D)} 和 j {\displaystyle j} ），其平方即为日常常见的概率，那么就能简明地解释量子电动力学的基本点子（费曼的书的简化版）。之后，上述这一点会被修正，引入对应的量子数学，这样就可遵循费曼的方式。

下文所用的概率幅有着以下的基本规则 ：

若一事件能以多种不同的方式发生，那么其概率幅为各发生方式概率幅的和；

若一过程中包括多种独立的子过程，则其概率幅为各子过程概率幅的积。

基本构成

假设开始时在某时间和空间处（这时间和空间的标记为A）有一电子，在另一时间和空间处（标记为B）有一光子。从物理学的观点，一条典型的问题会问“在C（另一时间和空间）处出现电子，而在D（又另一时间和空间）处出现光子的概率是多少？”要做到这一点，最简单的过程就是让电子从A移动到C（一种基本作用），让光子从B移动到D（另一种基本作用）。已知两个子过程的概率幅—— P ( A → → --> B ) {\displaystyle P(A\rightarrow B)} 与 E ( C → → --> D ) {\displaystyle E(C\rightarrow D)} ——从上述规则二可知，要得两者同时发生的概率，需将它们相乘。这样做能得到一个对整个过程概率幅的简单估计，将它平方后可得发生的概率。

 康普顿散射

但是还有其他可以得出相同终点的其他过程。电子可以在时间和空间E处把光子吸收掉，然后移动至F处时发射出另一光子，最终电子移动到C处时被探测到，而新的光子则移动到D处。这个复杂过程的概率幅还是可以经由各分作用的概率幅得知：当中共有三个电子作用、两个光子作用及两个顶点——其中一个发射，一个吸收。将各个概率幅相乘，可得任何已定的E及F处的总概率幅。然后按规则一，将所有不同E及F处的总概率幅相加起来（实际上这加法并不基本，需要使用积分法）。但是还有另一种可能性，就是电子首先移动到G处，发射出前往D处的光子，而电子则继续移动到H处，并在该处吸收掉开始时的光子，最终移动到C处。同样地，可以计算出这些可能性（全部的G及H）的概率幅。然后，把这两种可能的概率幅，与开始时作的简单估计相加，就可能得出一个更好的概率幅估计值。顺便提一下，这种电子和光子的相互作用有一个名字，叫康普顿散射 。

中间过程的数量为无限，因为过程中能吸收及／或发射更多更多的光子。每一个可能性就有一张费曼图。这意味着要计算出最终的概率幅，会是一项相当复杂的计算。然而，在量子电动力学中，愈复杂的费曼图，对最终结果的贡献也就愈小，因此要为原问题的答案计算出所需的准确度，只是时间与精力的问题 。这就是解决量子电动力学的基本手法。要计算出任何光子与电子间的相互作用过程，首先用费曼图列出所有可能的作用方式，而这些方式都是用那三种基本元素所组合而成的。在计算每一个图的概率幅时，都要用到一些固定的规则。

当转换成量子描述的时候，物理的基本框架依然不变，但是有些概念需要改变。其中一种就是，认为粒子的移动点是会受到一些限制的，就像日常生活一样，但是在完整的量子电动力学下，情况并不是这样的。在A处的电子或在B处的光子，在以基本作用移动时，是有可能到达宇宙任何时间点或空间点的。这包括需要超越光速才能到达的地方，及之前的时间点。（逆时间移动的电子可被视为顺时间移动正电子 。）

概率幅

费曼把复数换成旋转的箭头，这些箭头从发射开始，到粒子被探测到时结束。这些箭头的总和代表事件的总概率。在上图中，由来源S所发射的光被镜片（紫色水平线）反射后，到达位于点P探测器。必须考虑所有路径的总和。上图下方的图表所描绘的是各路径从P到S所需的时间。

量子力学对概率的计算方式引入了一项重大的改变。概率仍然是以实数表示，如同日常生活中常用的概率，然而量子力学的概率是由概率幅计算。而概率幅是复数。

费曼为了避免读者接触到复数的数学，使用了一种简单但准确的代表，就是用一张纸上或一块屏幕上的箭头代表复数。（请千万不要把这些箭头与费曼图的箭头混淆，后者实际上代表着三维空间与一维时间在简化后所得的二维空间关系）这些幅箭头对描述量子理论的世界非常重要。对于为什么需要这些箭头，还没有任何令人满意的理由。但由于它们很实用，所以也只它们是所有量子现象描述中的重要组成部分。它们与日常熟知的概率间有一条简单的规则，就是一事件的发生概率是其辐箭头长度的平方。因此，若某过程含有两个概率幅 v 及 w ，则该过程的发生概率为

或

至于要使用加号还是乘号，规则还是与上文提及的一样。在你以为要加或乘概率的地方，此时要加或乘的却是概率幅，是复数。

  复数概率幅的加法

  复数概率幅的乘法

在复数理论中，加法和乘法是为人所熟知的运算，可用左图表示。加法的方法如下。把第二个箭头的起端接到第一个箭头末端，那么其和就是第三个箭头，由第一个箭头的起端指向第二个箭头的末端。两个箭头的积，就是一个长度为该两个箭头长度积的箭头。把两箭头相对于一参考方向的转动角度加起来，可得积箭头的方向，也就是积箭头相对于该参考方向的转动角度。

把概率换成概率幅的这一转变，把数学变得更复杂了，但是基本手法仍然不变。但只是那个转变仍不是很足够，因为忽略了电子及光子都可以被极化这一点，也就是说必须考虑它们在时间和空间中的方向。因此 P ( A → → --> B ) {\displaystyle P(A\rightarrow B)} 实际上由16个复数（即概率辐箭头）组成 。物理量 j {\displaystyle j} 也有轻微的改变，在某些极化情况下需要旋转若干次的90°，而这点只需出现在详细的计算记录中。

与电子可被极化这一点相关的，还有另一样必须的细节，就是电子是一种费米子，因此遵从费米-狄拉克统计。基本规则就是，若某复杂过程中有超过一个电子时，在计算其概率幅时，会包括（这通常是必须的）互补的费曼图，即图中的两个电子事件被交换了，这样所得的概率幅与交换前的值一样，但就会成了负值。最简单的例子，就是以A、B作起点，C、D作终点的两个电子。那么概率幅则为两个过程概率幅的“差”，即

但从日常的概率中，这个情况时一般是会用和的 。

传播子

最后，必须计算出P(A→B)和E(C→D)，这两个量分别对应光子和电子的概率幅。它们实际上是狄拉克方程与克莱因-戈尔登方程的解，其中前者描述的是电子概率幅的变化，而后者描述的则是光子 。这两个量称为费曼传播子。在一般文献中的标记翻译如下：

其中类似 x A {\displaystyle x_{A}} 的简写符号代表的是，在点A的时间和三维空间位置的四个实数。

质量重整化

  电子自身能量循环

在量子电动力学的发展史上，有一个难题使研究进度停滞了二十年：虽然在开始时假设只有三种基本的“简单”作用，但游戏规则上说，如果要计算一电子从A到B的概率幅，就必须考虑全部可能的方式：即所有起点为A终点为B的费曼图。因此，电子可以移动到C，然后发射一光子，之后在移动到B之前在D再吸收之前的光子。又或是电子重复上述行动两次，或更多的次数。总而言之，这是一个类似分形的情况，若仔细去看一条线时，看见它分解成一系列“简单”的线，而这些线在细看之下，也会分解成一系列“简单”的线，一直下去，永无止境。这是一个很难应付的情况。如果加入这些细节只是稍为带来改变的话，那就还可以，但是后来发现了简单的修正，并不能解决上述导致无限概率幅的情况，因此结果是灾难性的。最后这个难题用一种叫重整化的技巧“解决”。不过，费曼本人对此并不高兴，把它叫做“一套没头没脑的程序” 。

结论

在以上的框架下，物理学家当时就能够高度准确地计算出电子的一些属性，例如异常磁矩。然而，就像费曼所指出的那样，这套理论完全解释不了为什么电子会有它们现有的这样一个质量。费曼这样表示，“没有理论能够充分地解释这些数。我们所有的理论都用到这些数，但我们不明白这些数──它们是什么，又或是它们从哪里来的。从一个基础的视点出发，我相信这是一个有趣且须认真对待的难题。”

数学

数学上，量子电动力学有着阿贝尔群规范理论的结构，并有一对称群——U(1)规范群。媒介带电自旋-1/2场之间相互作用的规范场是电磁场。采用 c = ℏ ℏ --> = μ μ --> 0 = 1 {\displaystyle c=\hbar =\mu _{0}自然单位制的自然单位制，量子电动力学中透过光子来媒介数个电子或正子间拉格朗日用的拉格朗日量是

其中

运动方程

推导开始，首先将 D 的定义代入拉格朗日量，得到 L 为

再来将拉格朗日量代入针对代表带电粒子场的欧拉-拉格朗日方程

以找出量子电动力学的场方程。

源自此一拉格朗日量的两项则分别为

将此二项代回欧拉-拉格朗日方程 (2) 得到

以及复数共轭

若将后者的中间项移到等号右边则得：

左手边则形式与原本狄拉克方程相似，而右手边则是与电磁场的相互作用。

另个更重要的方程是将拉格朗日量代入另个欧拉-拉格朗日方程，但这个方程现在是针对 A μ μ --> {\displaystyle A^{\mu }} 场：

类似的两项在此则为

而此二项代回到 (3) 可得

现在，如果让四维势的散度消失，即采用洛伦茨规范条件：

则可得

此为四维势的波动方程，洛伦茨规范条件下量子电动力学版本的经典麦克斯韦方程组。（在上式中，正方形代表达朗贝尔算符）

相互作用绘景

把玻色子与费米子部分视作自由，则理论的量子化并不复杂。这样就可以构建一组渐近态，用于计算不同过程的概率幅。要做到这点，首先要计算出演进算符，这样就能从已知起始态 | i 〉 〉 --> {\displaystyle |i\rangle } （见狄拉克符号）得出 〈 〈 --> f | {\displaystyle \langle f|} 形式的终结态，从而可得

这种技巧叫S矩阵。演进算符是由相互作用绘景所得，其中时间演进从哈密顿算符而来，即上述拉格朗日量第二项的空间积分，

由此可得

其中T为时间排序算符，V(t")则是相互作用绘景中的相互作用算符。演进算符只在作为数列时具有意义，而此时所得的是以精细结构常数为发展参数的摄动数列。这种数列叫 戴森数列 （ 英语 ： Dyson series ） 。

费曼图

尽管费曼的量子电动力学研究法在概念上相当清晰，但是早期几乎没有教科书引用他的手法。在计算时，使用传播子的傅里叶变换会使计算简便得多。量子物理考虑的是粒子的动量，而不是它们的位置。在相互作用中把粒子视作被创造或湮灭，也是一件方便的事。这样费曼图还是跟之前的一样，但是对线的诠释就不同了。电子线代表的是带某能量与动量的电子，而对光子线的诠释也是这样。顶点图所代表的是一电子的湮灭与另一电子的创造，同时还有一光子的吸收或创造，上述的三种粒子都有各自特定的能量与动量。

形式散射理论给出了散射截面和S矩阵乃至散射振幅的关系。依据 LSZ约化公式 （ 英语 ： LSZ_reduction_formula ） ，又可将散射振幅和相互作用系统的编时传播子在奇点处的行为联系起来。再根据盖尔曼–劳定理，相互作用系统的编时传播子可以写成包含自由场算符、自由真空和相互作用绘景中时间演化算符的表达式。展开时间演化算符，再在戴森级数的项上使用威克定理，就可以将相互作用系统的编时传播子转化为自由场费曼传播子构成的级数。费曼图是一种计算这些级数项的技巧。在量子电动力学中，图各部分对应的规则如下：

除上述规则外，图中有循环时还必须加上动量积分 ∫ ∫ --> d p 4 2 π π --> 4 {\displaystyle \int {\frac {dp^{4}}{2\pi ^{4}}}} ，因为这些内部粒子（即虚粒子）并不受任何特定的能量－动量所限——连一般在狭义相对论中所需的都限制不了。由此按下面方式，要计算出概率幅并不是一件复杂的事。下例为康普顿散射，即电子与光子间的 弹性散射 （ 英语 ： Elastic scattering ） 。其散射振幅的领头项由以下两张费曼图贡献：

由此可得S矩阵一阶摄动数列中的对应概率幅

由此可计算出此散射的截面。

可重整性

计算演进算符的高阶项不是一件复杂的事，不过这些项包含下面几张简单的图：

而这几张图都有密闭循环，意味着对应的积分会紫外发散，计算电子自能和顶点函数时还会出现红外发散，因此在数学上没有意义。为了克服这项困难，物理学家开发了一种叫重整化的技巧，这样做就会得到与实验结果相符的有限数值。有一点很重要的是，理论在重整化后是否具有意义，是取决于其发散图的数量是否无限。如果一理论的发散图数量为有限的，那么它就是可重整理论 。这是因为要把观测量重整，需要有限个的常数去维持预测值的不变。而量子电动力学正正是这样的一套理论，而且它只有三个发散图。重整化这个步骤所得的观测量数值，与实验所得的数值相差很少，例如电子的旋磁比。

要成为一套切实可行的量子场论，具备可重整性是当中的一项重要判据。现时所有描述基本相互作用的理论都是可重整理论，其中引力除外，它的量子部分仍是现时重要的热门研究课题。

数列发散

弗里曼·戴森利用一则论述证明在量子电动力学里摄动数列的收敛半径是零。 其基本的论述如下：假如耦合常数为负，库仑力常数是负的，这等效于电磁作用力被反转。此状况下同电荷会相吸，异电荷会相斥，使得真空不稳定而自动衰变到一堆电子与正子，且电子与正子会自动分离于宇宙的不同角落。由于在负耦合常数下有此理论有问题，无论在耦合常数为零的点圈选多小的一个范围，都会包含这些有问题的负耦合常数，因此数列的收敛半径是零。量子电动力学的摄动数列不会收敛，只会是渐进级数。当计算更多项时，并不会改善其结果。这可以视为是摄动理论的问题，需要一个新的理论来描述，或是直接计算而不管它。

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