定义

在代数几何中，一个概形S{\displaystyle S}上的群概形G{\displaystyle G}是范畴SchS{\displaystyle \mathrm {Sch} _{S}}中的群对象。借由米田信夫引理，我们可以给出两种刻划：

以乘法、单位元与逆元定义：存在SchS{\displaystyle \mathrm {Sch} _{S}}中的态射

并满足结合律等等群的性质。

以函子性定义：点函子hG:SchS→ → -->Set{\displaystyle h_{G}:\mathrm {Sch} _{S}\rightarrow \mathrm {Set} }透过遗忘函子Group→ → -->Set{\displaystyle \mathrm {Group} \rightarrow \mathrm {Set} }分解。。

换言之：对于任意的S{\displaystyle S}-概形T{\displaystyle T}，G(T){\displaystyle G(T)}构成一个群；而且对任意S{\displaystyle S}-态射T′→ → -->T{\displaystyle T"\rightarrow T}，诱导映射G(T)→ → -->G(T′){\displaystyle G(T)\rightarrow G(T")}都是群同态。

代数群：设k{\displaystyle k}为域，Spec(k){\displaystyle \mathrm {Spec} (k)}上的连通、光滑群概形称作k{\displaystyle k}上的代数群。

李代数：群概形G{\displaystyle G}自然地作用在它的全体向量场上。G{\displaystyle G}的全体左不变向量场称作G{\displaystyle G}的李代数，记为Lie(G){\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}；它是S{\displaystyle S}上的层。

例子

交换环谱Spec(A){\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}的群概形结构一一对应到A{\displaystyle A}的Hopf代数结构。

阿贝尔簇：即一个域k{\displaystyle k}上的真（proper）代数群，它们必然是可交换的。

线性代数群：即GL(n){\displaystyle GL(n)}中的闭子群。仿射代数群都是线性代数群，它们在表示理论及数论中占有根本地位。Chevalley定理断言：若k{\displaystyle k}代数封闭，则对所有代数群G{\displaystyle G}都存在短正合列1→ → -->H→ → -->G→ → -->A→ → -->1{\displaystyle 1\rightarrow H\rightarrow G\rightarrow A\rightarrow 1}，其中H{\displaystyle H}是线性代数群而A{\displaystyle A}是阿贝尔簇。在此意义下，所有代数群都是由阿贝尔簇与线性代数群建构而来。

设char(k)=p>0{\displaystyle \mathrm {char} (k)=p>0}，并考虑k[T]/Tpr,k[T,T− − -->1]/(Tpr− − -->1){\displaystyle k[T]/T^{p^{r}},k[T,T^{-1}]/(T^{p^{r}}-1)}的谱。这些群在拓朴上只有一个点，但其结构层带有幂零元素。这些子群在代数群的研究中相当常见，同时也是理解char(k)>0{\displaystyle \mathrm {char} (k)>0}时的代数群之重要关键。

文献

A. Borel, Linear Algebraic Groups 2nd enlarged edition (1991), Graduate Texts in Mathematics 126, Springer.

M. Demazure et P. Gabriel, Groupes algébriques: Tome I（1970）, PA Masson

D. Mumford, Abelian Varieties（1970）, Oxford Univ. Press

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