定义

预备知识

代数数域是域的一类。域是装备了两个二元运算（通常称之为“加法”、“乘法”）的代数系统。这两种运算各自满足结合律与交换律，完全可逆，同时乘法对加法满足分配律（详细定义参见域）。域的一个重要的例子是有理数域Q{\displaystyle \mathbb {Q} }。

域的扩张研究各类域之间的关系，最早的应用包括多项式方程一般求根公式问题等。在给定的域F中加入不属于此域的元素（一般以集合S纪录），规定相互间的运算法则后，“最小的”将它们都包含在内的域L称为“F（添加S中元素得到）的扩域”。称F是L的子域。一般将“F到L的域扩张”记作F⊂L或L/F。

另一个基础概念是向量空间。向量空间，特别是有限维向量空间的概念是三维空间以及其中向量概念的推广（具体定义参见向量空间条目）。以某个域F为系数域的向量空间（通常称作F上的向量空间或F-向量空间），其中的向量除了可以相加减，还可以乘以F中元素进行放缩。有限维的向量空间可以借助其中的有限个向量来刻画。这些向量之间必须满足特定的条件，称为空间的基。选定了空间的基以后，空间里的任何向量都可以表达为以F中元素组成的有序数组：(x1,x2,⋯ ⋯ -->,xn){\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}。其中的n是基中向量的个数，也称为空间的维数。

设L是域F的一个扩域。将L中的元素看作向量，以F作为系数域，可以证明L是一个F-向量空间。如果这个向量空间是有限维的，就称L是F的有限扩张。L作为F-向量空间的维数，称为扩张的次数，记作[L : F]。

定义

若域L是有理数域Q{\displaystyle \mathbb {Q} }的有限扩张，则称之为代数数域。

例子

最小最基本的代数数域是有理数域Q{\displaystyle \mathbb {Q} }。因为Q{\displaystyle \mathbb {Q} }自身是Q{\displaystyle \mathbb {Q} }-向量空间，维数是1。因此Q{\displaystyle \mathbb {Q} }是Q{\displaystyle \mathbb {Q} }自身的域扩张，[Q:Q]=1.{\displaystyle [\mathbb {Q} :\mathbb {Q} ]=1.}

高斯有理数Q(i){\displaystyle \mathbb {Q} (i)}（i为虚数单位）是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子，它是所有形同：

的数构成的集合。可以证明，Q(i){\displaystyle \mathbb {Q} (i)}是域，而且是Q{\displaystyle \mathbb {Q} }-向量空间，以{1,i}{\displaystyle \{1,i\}}为基，空间维数是2。所以Q(i){\displaystyle \mathbb {Q} (i)}是Q{\displaystyle \mathbb {Q} }的二次扩张，[Q(i):Q]=2.{\displaystyle [\mathbb {Q} (i):\mathbb {Q} ]=2.}

给定不是完全平方数的正整数或相反数不是完全平方数的负整数d，二次域Q(d){\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}在Q{\displaystyle \mathbb {Q} }中添加 d的平方根而得的扩域。与高斯有理数域类似，可以证明Q(d){\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}是Q{\displaystyle \mathbb {Q} }-向量空间，以{1,d}{\displaystyle \{1,{\sqrt {d}}\}}为基，空间维数是2，即[Q(d):Q]=2.{\displaystyle [\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}):\mathbb {Q} ]=2.}

考虑多项式方程xn=1{\displaystyle x^{n}=1}的n个复根ξ ξ -->1,ξ ξ -->2,⋯ ⋯ -->,ξ ξ -->n{\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}}，它们被称做n次单位根，具体可以写作：

在Q{\displaystyle \mathbb {Q} }中添加ξ ξ -->1,ξ ξ -->2,⋯ ⋯ -->,ξ ξ -->n{\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}}得到的扩域称为n次分圆域，记作Q(ξ ξ -->n){\displaystyle \mathbb {Q} (\xi _{n})}。可以证明Q(ξ ξ -->n){\displaystyle \mathbb {Q} (\xi _{n})}是有限维Q{\displaystyle \mathbb {Q} }-向量空间，维数为φ φ -->(n){\displaystyle \varphi (n)}（φ φ -->{数论is欧拉函数style \varphi }是数论中的欧拉函数），即[Q(ξ ξ -->n):Q]=φ φ -->(n).{\displaystyle [\mathbb {Q} (\xi _{n}):\mathbb {Q} ]=\varphi (n).}

实数域R{\displaystyle \mathbb {R} }、复数域C{\displaystyle \mathbb {C} }和p进数域Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}都不是Q{\displaystyle \mathbb {Q} }的有限扩张，因此都不是代数数域。任何有限域都不是Q{\displaystyle \mathbb {Q} }的扩域，因此也不是代数数域。

全体规矩数构成的域C{\displaystyle {\mathcal {C}}}和全体代数数构成的域A{\displaystyle {\mathcal {A}}}（有时也被简称为代数数域，与本文主题同名，但不是同一个概念）不是Q{\displaystyle \mathbb {Q} }的有限扩张，因此都不是代数数域。

代数数域与代数数

代数数是指能够成为某个有理数系数多项式（不是零多项式）的根的数。显然所有的有理数都是代数数。给定一个代数数域L，依定义，域扩张Q⊂ ⊂ -->L{\displaystyle \mathbb {Q} \subset L}是有限扩张。设其次数为正整数m。将L看作是m维Q{\displaystyle \mathbb {Q} }-向量空间，在L中任意选一个不属于Q{\displaystyle \mathbb {Q} }的数z，它可以被看作是m维Q{\displaystyle \mathbb {Q} }-向量空间中的一个（非零）向量。考虑以下的m + 1个向量：

它们都属于L。根据向量空间的性质，它们是线性相关的。即存在不全为零的m + 1个有理数：a0,a1,⋯ ⋯ -->,am{\displaystyle a_{0},a_{1},\cdots ,a_{m}}，使得：

考虑非零多项式P=a0+a1X+⋯ ⋯ -->+amXm{\displaystyle P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{m}X^{m}}，P(z)=0{\displaystyle P(z)=0}，即z是多项式P{\displaystyle P}的根。所以z是代数数。由上可知，任一代数数域的元素都是代数数。

代数整数

代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数。显然代数整数是一种代数数。任何整数n都是一次整系数多项式X - n的根，因此是代数整数。给定代数数域F，F中所有代数整数构成一个环，称作F中的（代数）整数环，也称为F-整数环，记作OF{\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}。例如Q{\displaystyle \mathbb {Q} }上的代数整数环就是Z{\displaystyle \mathbb {Z} }，因此在代数数域研究中Z{\displaystyle \mathbb {Z} }也被称作“有理整数”（有理数域中的整数），以区别于其余的代数整数。

代数数域F中的整数环OF{\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}与Z{\displaystyle \mathbb {Z} }有不同的代数性质。OF{\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}不一定是唯一分解整环。举例来说，设F=Q(− − -->5){\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}，F中的整数环是OF=Z[− − -->5]{\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}。2,3,1+− − -->5,1− − -->− − -->5{\displaystyle 2,3,1+{\sqrt {-5}},1-{\sqrt {-5}}}都是OF{\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}中的“素数”。正整数6，作为OF{\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}中的元素，它的素因数分解有两种方式：

有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了拉梅对费马大定理的证明是错误的。为此库默尔等引进了理想数来作为弥补，由此发展出理想理论。代数数论中一个重要的事实是：OF{\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}的每个理想都可以唯一表示为素理想的乘积，即为戴德金整环。这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“代数整数一般不能唯一素因子分解”的不足，在历史上使代数数论发展起来。

代数数域的基

整数基

设F为n次代数数域，F的整数基是任一由n个F-整数组成的集合：

使得任一个F-整数x都能唯一地表示为这n个F-整数的整线性组合，即：

换句话说，整数基B是OF{\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}作为自由Z{\displaystyle \mathbb {Z} }-模的基。给定F的一组整数基B，可以证明，所有F中元素x都可以唯一地表示为其中元素的有理线性组合，即：

这说明B是F作为n维Q{\displaystyle \mathbb {Q} }-向量空间的一组基。而且由于B中元素都是F-整数，故B名为整数基。此外可以证明，x是F-整数当且仅当所有q1,q2,⋯ ⋯ -->,qn{\displaystyle q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n}}都是有理整数。

乘幂基

设F为n次代数数域。作为n维Q{\displaystyle \mathbb {Q} }-向量空间，F包含如下形式的基：

其中每个元素都是某个特定的数β的乘幂。根据域扩张理论中的本原元定理，这样的β一定存在，称为域扩张Q⊂ ⊂ -->F{\displaystyle \mathbb {Q} \subset F}的本原元。如果β不仅是本原元，还是F-整数，那么这时B也是整数基，称作乘幂整数基，称F为单衍域（monogenic field）。

参见

狄利克雷单位定理, S-单位

库默尔扩张

闵可夫斯基定理几何数论

Chebotarev稠密定理

射线类群

分解群

亏格域

参考来源

Janusz, Gerald J., Algebraic Number Fields 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1997.1996, ISBN 978-0-8218-0429-2 

Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000

Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999

Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005

Narkiewicz, Władysław, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics 3, Berlin:Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267 

Neukirch, Jürgen, Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 322, Berlin, New York:Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859 

Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323, Berlin, New York:Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 

Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。