数系的逻辑

自然数

皮亚诺〔Giuseppe Peano〕替自然数建立以下的定义：

自然数中没有0。

每一个自然数都必须有下一个自然数，并以S(a)表示。

自然数0前没有自然数。

不同的自然数的下一个自然数都不同，即a=b即代表S(a)=S(b)，相反亦成立。

若一个特性0拥有，而往后的自然数都拥有，这特性则视为自然数拥有。

根据这五个定义，所有自然数的特性皆可推断。而数一则以1=S(0)表示。

数系皆拥有等价关系，即：

自反性：∀ ∀ -->x∈ ∈ -->A,  (x,x)∈ ∈ -->R{\displaystyle \forall x\in A,~~(x,x)\in R}

对称性：∀ ∀ -->x,y∈ ∈ -->A,  (x,y)∈ ∈ -->R  ⟹ ⟹ -->  (y,x)∈ ∈ -->R{\displaystyle \forall x,y\in A,~~(x,y)\in R~~\implies ~~(y,x)\in R}

传递性：∀ ∀ -->x,y,z∈ ∈ -->A,   ((x,y)∈ ∈ -->R∧ ∧ -->(y,z)∈ ∈ -->R)  ⟹ ⟹ -->  (x,z)∈ ∈ -->R{\displaystyle \forall x,y,z\in A,~~~((x,y)\in R\wedge (y,z)\in R)~~\implies ~~(x,z)\in R}

定义下自然数可进行运算，以下为加法的定义：

〔这暗示S(a) = S(a + 0) = a + S(0) = a + 1，所以以下S(x)皆会写成x + 1〕

以下为乘法的定义：

〔a × b亦可写成a ‧ b或是ab〕

以下为指数的定义：

〔a亦会写成a ^ b或是a ** b，特别是当上标不可使用的时候〕

整数

自然数可以以下方式扩展成整数，每一个非零的自然数a，就会出现一个整数-a，而它不是一个自然数。特别情形-0则定义为自然数0。后续函数亦可以S(-a) = - S(a - 1)的法则扩展至整数。

加法将以以下方法定义：

若a及b皆自然数，则-a + -b = -(a + b)。

若a为整数，则a + 0 = a。

若b为一非零整数，则a + b = (a - 1) + S(b)。

减法定义与加法相同，即a - b = a + - b。

乘法定义与自然数定义相同，但加入负负得正，负正得负的理念：

若a及b皆自然数，则a × -b = -a × b = -(ab)

若a及b皆自然数，则-a × -b = a × b = ab

有理数

无理数

多项式

代数数

实数

若某复数a+bi中的b若等于0,此复数就为实数。

虚数

若某复数a+bi中的b不等于0,就为虚数。 此外，若a+bi中的a等于0,就为纯虚数。

备注

参考资料

参见

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