经典力学

在经典力学，一个质点（一个很小的物体，它的大小基本可以忽略）或者一个没有自转的刚体的动能、速率与质量的关系是：

其中 E k {\displaystyle E_{k}} 代表动能， m {\displaystyle m} 代表质量及 v {\displaystyle v} 代表速率。

而当一个物体的质量不变，一个物体平移的动能、速率与质量的关系亦同上

一个物体的动能与动量的关系为：

其中 E k {\displaystyle E_{k}} 代表动能， p {\displaystyle p} 代表动量的数值及 m {\displaystyle m} 代表质量。

推导与定义

我们可选择任意一个惯性参考系来考虑动能。一个物体原来静止，在受到作用力之后便加速。它所得到的动能是总共的作用力对它所做的功。

其中 W {\displaystyle W} 代表功， F → → --> {\displaystyle {\vec {F}}} 代表物体所受到的总共的作用力， s → → --> {\displaystyle {\vec {s}}} 代表物体的位移。

根据牛顿第二定律，

其中 F → → --> {\displaystyle {\vec {F}}} 代表力， p → → --> {\displaystyle {\vec {p}}} 代表动量和 t {\displaystyle 时间 代表时间。

动量、速度与质量的关系为：

其中 p → → --> {\displaystyle {\vec {p}}} 代表动量， m {\displaystyle m} 代表质量及 v → → --> {\displaystyle {\vec {v}速度 代表速度。

在牛顿力学中，一个物体的质量不随速率的改变而改变。

其中 W {\displaystyle W} 代表功， p → → --> {\displaystyle {\vec {p}}} 代表动量， t {\displaystyle t} 代表时间， v → → --> {\displaystyle {\vec {v}}} 代表速度， v {\displaystyle v} 代表速率， m {\displaystyle m} 代表质量， C 0 {\displaystyle C_{0}} 代表不定常数。当物体的速率为零时，其动能亦为零。因此，

其中 E k {\displaystyle E_{k}} 代表动能， m {\displaystyle m} 代表质量及 v {\displaystyle v} 代表速率。

自转的物体

如果一个物体自转，它便有自转动能。自转动能是它的每一质点的平移动能的和。

其中 E r {\displaystyle E_{r}} 代表自转动能， v {\displaystyle v} 代表速率， ω ω --> {\displaystyle \omega } 代表角速度， m {\displaystyle m} 代表质量及 r {\displaystyle r} 代表质点到旋转距离的距离。

相对论

在狭义相对论中，我们必须改变线性动量的表达式。

使用 m {\displaystyle m} 表示静止质量， v {\displaystyle \mathbf {v} } 和 v {\displaystyle v} 分别表示物体的速度和速率， 而 c {\displaystyle c} 表示真空中的光速，我们假设线性动量 p = m γ γ --> v {\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} } ， 其中 γ γ --> = 1 / 1 − − --> v 2 / c 2 {\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

分部积分得到

回忆 γ γ --> = ( 1 − − --> v 2 / c 2 ) − − --> 1 / 2 {\displaystyle \gamma =(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}\!} ，我们得到：

其中 E 0 {\displaystyle E_{0}} 作为积分常数。 于是:

通过观察 v = 0 , γ γ --> = 1 {\displaystyle \mathbf {v} =0,\ \gamma =1\!} 且 E k = 0 {\displaystyle E_{\text{k}}=0\!} ，得到积分常数 E 0 {\displaystyle E_{0}} 应为

并给出通常的公式

极限

当速度趋向光速，动能趋向无限，因此限制了速度的上限为光速，体现了相对论的自恰性。

利用泰勒公式：

低速情况下，相对论中的表达式趋向于经典力学中的表达式。

参见

势能（又称"势能"）

机械能

能量

相对论

牛顿运动定律

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