有多少个量子数？

“要多少个量子数才能描述任何已知系统？”这道问题并没有一致的答案，尽管要解决每一个系统都必需要对系统进行全面分析。任何系统的动力学都由一量子哈密顿算符，H，所描述。系统中有一量子数对应能量，即哈密顿算符的特征值。对每一个算符O而言，还有一个量子数可与哈密顿算符交换（即满足OH = HO这条关系式）。这些是一个系统中所能有的所有量子数。注意定义量子数的算符O应互相独立。很多时候，能有好几种选择一组互相独立算符的方法。故此，在不同的条件下，可使用不同的量子数组来描述同一个系统。

原子内的单个电子

最被广为研究的量子数组是用于一原子的单个电子：不只是因为它在化学中有用（它是周期表、化合价及其他一系列特性的基本概念），还因为它是一个可解的真实问题，故广为教科书所采用。

在非相对论性量子力学中，这个系统的哈密顿算符由电子的动能及势能（由电子及原子核间的库仑力所产生）。动能可被分成，有环绕原子核的电子角动量，J的一份，及余下的一份。由于势能是球状对称的关系，其完整的哈密顿算符能与J交换。而J本身能与角动量的任一分量（按惯例使用Jz）交换。由于这是本题中唯一的一组可交换算符，所以会有三个量子数。

依惯例，它们被称为：

主量子数（n=1，2，3，4 …）代表除掉J以后H的特征值。这个数因此会视电子与原子核间的距离（即半径坐标r）而定。平均距离会随着n增大，因此不同量子数的量子态会被说成属于不同的电子层。

角量子数（l=0，1 … n-1）（又称方位角量子数或轨道量子数）通过关系式L2=ℏ ℏ -->2l(l+1){\displaystyle L^{2}=\hbar ^{2}l(l+1)}来代表轨道角动量。在化学中，这个量子数是非常重要的，因为它表明了一轨道的形状，并对化学键及键角有重大形响。有些时候，不同角量子数的轨域有不同代号，l=0的轨域叫s轨域，l=1的叫p轨域，l=2的叫d轨域，而l=3的则叫f轨域。

磁量子数（ml= -l，-l+1 … 0 … l-1，l）代表特征值，Lz=mlℏ ℏ -->{\displaystyle L_{z}=m_{l}\hbar }。这是轨道角动量沿某指定轴的投影。

从光谱学中所得的结果指出一个轨道最多可容纳两个电子。然而两个电子绝不能拥有完全相同的量子态（泡利不相容原理），故也绝不能拥有同一组量子数。所以为此特别提出一个假设来解决这问题，就是设存在一个有两个可能值的第四个量子数。这假设以后能被相对论性量子力学所解释。

自旋量子数（ms= -1/2 或 +1/2）代表电子的固有角动量。这是自旋s=1/2沿某指定轴的射影。

作为摘要，一电子的量子态视下列各量子数而定：

例：用于描述氟（F）原子最外层电子（即价电子，位于原子轨道2p）的各量子数值为：n=2，l=1，ml=1或0或-1，ms=-1/2或1/2。

注意分子轨道需要使用完全不同的量子数组，因为其哈密顿算符及对称跟上述相当不同。

适用于自旋－轨道相互作用的量子数

当考虑到自旋-轨道作用时，l、m及s就再不能与哈密顿算符交换，因而它们的值会随时间改变。故应该使用另一组量子数。这组包括了

总角动量量子数（j=1/2，3/2 … n-1/2）通过关系式J2=ℏ ℏ -->2j(j+1){\displaystyle J^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)}代表着总角动量。

总角动量沿某指定轴的投影（mj=-j，-j+1 … j-1，j），此数与m类似，且满足关系式mj=ml+ms{\displaystyle m_{j}=m_{l}+m_{s}}。

宇称。它是经反射所得的特征值，当态之l为偶数时其值为正（即+1），奇数时其值为负（即-1）。前者亦被称为偶宇称，后者则为奇宇称。

例：考虑以下八个态，定义它们的量子数：

（1） l = 1，ml = 1，ms = +1/2

（2） l = 1，ml = 1，ms = -1/2

（3） l = 1，ml = 0，ms = +1/2

（4） l = 1，ml = 0，ms = -1/2

（5） l = 1，ml = -1，ms = +1/2

（6） l = 1，ml = -1，ms = -1/2

（7） l = 0，ml = 0，ms = +1/2

（8） l = 0，ml = 0，ms = -1/2

系统的量子态能被这八个态的线性组合所描述。但由于自旋-轨道作用的关系，如欲使用八个由哈密顿算符的特征矢量（即每一个代表一个态且不会因时间而跟其他态混合）所组成的态来描述同一个系统，应考虑以下这八个态：

（1） j = 3/2， mj = 3/2，奇宇称 （从上态（1）得）

（2） j = 3/2， mj = 1/2，奇宇称 （从上态（2）及（3）得）

（3） j = 3/2， mj = -1/2，奇宇称 （从上态（4）及（5）得）

（4） j = 3/2， mj = -3/2，奇宇称 （从上态（6）得）

（5） j = 1/2， mj = 1/2，奇宇称 （从上态（2）及（3）得）

（6） j = 1/2， mj = -1/2，奇宇称 （从上态（4）及（5）得）

（7） j = 1/2， mj = 1/2，偶宇称 （从上态（7）得）

（8） j = 1/2， mj = -1/2，偶宇称 （从上态（8）得）

基本粒子

基本粒子包含不少量子数，一般来说它们都是粒子本身的。但需要明白的是，基本粒子是粒子物理学上标准模型的量子态，所以这些粒子量子数间的关系跟模型的哈密顿算符一样，就像玻尔原子量子数及其哈密顿算符的关系那样。亦即是说，每一个量子数代表问题的一个对称性。这在场论中有着更大的用处，被用于识别时空及内对称。

一般跟时空对称有关系的量子数有自旋（跟旋转对称有关）、宇称、C-宇称、T-宇称（跟时空上的庞加莱对称有关系）。一般的内对称有轻子数、重子数及电荷数。条目味有这些量子数的更详细列表。

值得一提的是较次要但常被混淆的一点。大部分守恒量子数都是可相加的。故此，在一基本粒子反应中，反应前后的量子数总和应相等。然而，某些量子数（一般被称为宇称）是可相乘的；即它们的积是守恒的。所以可相乘的量子数都属于一种对称（像守恒那样），而在这种对称中使用两次对称变换式跟没用过是一样的。它们都属于一个叫Z2的抽象群。

参考文献暨外部链接

基本原理

Dirac, Paul A.M.Principles of quantum mechanics. Oxford University Press. 1982. ISBN 0-19-852011-5. 

原子物理

量子数与电子排布（英文）

氢原子的量子数（英文）

粒子物理

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X. 

Halzen, Francis and Martin, Alan D. QUARKS AND LEPTONS: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. 1984. ISBN 0-471-88741-2. 

粒子数据小组（英文）

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