历史

有限元法最初起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究。它的发展可以追溯到Alexander Hrennikoff（1941）和Richard Courant (1942)的工作。这些先驱者使用的方法具有很大的差异，但是他们具有共同的本质特征：利用网格离散化将一个连续区域转化为一族离散的子区域，通常叫做元.Hrennikoff的工作离散用类似于格子的网格离散区域; Courant的方法将区域分解为有限个三角形的子区域，用于求解来源于圆柱体转矩问题的二阶椭圆偏微分方程. Courant的贡献推动了有限元的发展，绘制了早期偏微分方程的研究结果。

有限元方法的发展开始于五十年代中后期使用在机身框架和结构分析上，并于六十年代通过斯图加特大学的John Argyris（英语：John Argyris）和柏克莱加州大学的Ray W. Clough（英语：Ray W. Clough）在土木工程中的应用工作中积累经验。

1965年，冯康将其成果发表成论文。

技术讨论

以下用有限元分析解决两个简单问题，更一般的问题可以类似的推导出来。现假设读者已经熟悉微积分和线性代数。

P1是一个较简单的一维问题

其中f{\displaystyle f}是已知函数, u{\displaystyle u}是关于x{\displaystyle x}的未知函数, u″{\displaystyle u""}是u{\displaystyle u}对x{\displaystyle x}的二阶导数。

二维比较简单的问题是狄利克雷问题

其中Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }是(x,y){\displaystyle (x,y)}平面上的连通开区域，它的边界∂ ∂ -->Ω Ω -->{\displaystyle \partial \Omega }是良性的多边形，光滑流形或多边形）, uxx{\displaystyle u_{xx}}和uyy{\displaystyle u_{yy}}分别表示x{\displaystyle x}和y{\displaystyle y}的二阶导数。问不定积分够通过计算不定积分而直边值问题然而，解决边值问题的这一方法只有在空间维数为1时才可用，并且不能推广到高维问题以及形如u+u″=f{\displaystyle u+u""=f}的问题。出于这种考虑，我们将用有限元方法解决P1并将其推广至问题P2.

我们的描述分为两步，每步都反映了用有限元解决边值问题的本质。

将原问题描述为它的弱形式，或变分形式。这一步很少或不需要计算。

离散化，将弱形式在有限维空间离散化。

这两步之后，我们可以构造一个大型有限维线性方程，线性方程的解就是原边值问题的逼近解。然后，这一有限维问题由计算机求解。

变分形式

第一步是将问题P1和P2转化为他的等价变分形式，或弱解形式。如果u{\displaystyle u}是问题P1的解，那么对任何满足边界条件的光滑函数v{\displaystyle v} ,有

（1）∫ ∫ -->01f(x)v(x)dx=∫ ∫ -->01u″(x)v(x)dx.{\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)v(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}u""(x)v(x)\,\mathrm {d} x.}

相反如果 u{\displaystyle u}对任何光滑函数v(x){\displaystyle v(x)}满足u(0)=u(1)=0{\displaystyle u(0)=u(1)=0}和（1）那么u{\displaystyle u}是P1的解。对于二次可导函数u{\displaystyle u}证明这一点是非常容易的（利用中值定理）。

通过对（1）的右侧使用分部积分，可以得到

（2）∫ ∫ -->01f(x)v(x)dx=∫ ∫ -->01u″(x)v(x)dx=u′(x)v(x)|01− − -->∫ ∫ -->01u′(x)v′(x)dx=− − -->∫ ∫ -->01u′(x)v′(x)dx=− − -->ϕ ϕ -->(u,v){\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)v(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{0}^{1}u""(x)v(x)\,\mathrm {d} x\\&=u"(x)v(x)|_{0}^{1}-\int _{0}^{1}u"(x)v"(x)\,\mathrm {d} x\\&=-\int _{0}^{1}u"(x)v"(x)\,\mathrm {d} x=-\phi (u,v)\end{aligned}}}

其中使用了v(0)=v(1)=0{\displaystyle v(0)=v(1)=0}的假设。

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