问题起源

人们知道，区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广为比区间更复杂的集合。

我们想构造一个映射m，它能将实数集的子集E映射为非负实数mE。称这样的映射（集函数）为集合E的测度。最理想的情况应该是m具有以下性质：

mE对于实数集的所有子集E都有定义。

对于一个区间I，mI应当等于其长度（端点数值之差）。

如果{En}是一列不相交的集合，并且m在其上有定义，那么m(∪ ∪ -->En)=∑ ∑ -->mEn{\displaystyle m(\cup E_{n})=\sum mE_{n}}。

m具有平移不变性，即如果一个m有定义的集合E的每个元素都加一个相同的实数（定义为{x+y|x∈ ∈ -->E}{\displaystyle \{x+y|x\in E\}}，记作E+y），那么m(E+y)=mE。

遗憾的是，这样的映射（集函数）是不存在的。人们只能退而求其次，寻找满足其中部分条件的映射。其中一个例子是若尔当测度，它只满足有限可加性（第三条性质希望具有可数可加性）。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。

例子

如果A是一个区间[a, b]， 那么其勒贝格测度是区间长度b−a。 开区间 (a, b)的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集。

如果 A 是区间 [a, b] 和 [c, d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积 (b−a)(d−c)。

康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。

性质

R 上的勒贝格测度有如下的性质

如果 A 是区间 I1 × I2 × ... × In 的笛卡尔积，那么A 是勒贝格可测的，并且 λ λ -->(A)=|I1|⋅ ⋅ -->|I2|⋯ ⋯ -->|In|.{\displaystyle \lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|.} 其中 |I|{\displaystyle |I|} 表示区间 I的长度。

如果 A 是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集的并，那么A 也是勒贝格可测的，并且λ(A) 就是这些可测集的测度的和（或无穷级数的和）。

如果A 勒贝格可测的，那么它的补集（相对于R ）也是可测的。

对于每个勒贝格可测集A，λ(A) ≥ 0 。

如果A与B是勒贝格可测的，且A是B的子集，那么λ(A) ≤ λ(B)。 (由 2, 3 及 4可得。)

可数多个是勒贝格可测集的交或者并仍然是勒贝格可测的。 (由2，3 可得)。

如果A是一个开集或闭集，且是R(甚至Borel集，见度量空间，待补)的子集，那么 A 是勒贝格可测的。

如果A是一个勒贝格可测集，并有 λ(A) = 0 (零测集)，则 A 的任何一个子集也是零测集。

如果A 是勒贝格可测的，x是R 中的一个元素，A关于x的平移（定义为 A + x = {a + x : a ∈ A}）也是勒贝格可测的，并且测度等于 A.

如果A是勒贝格可测的，δ δ -->>0{\displaystyle \delta >0}，则A{\displaystyle A}关于δ δ -->{\displaystyle \delta }的扩张（定义为δ δ -->A={δ δ -->x:x∈ ∈ -->A}{\displaystyle \delta A=\{\delta x:x\in A\}}）也是勒贝格可测的，其测度为δ δ -->nλ λ -->(A){\displaystyle \delta ^{n}\lambda \,(A)}。

更广泛地说，设 T是一个线性变换，A是一个R 的勒贝格可测子集，则 T(A)也是勒贝格可测的，其测度为|det(T)|λ λ -->(A){\displaystyle |\det(T)|\,\lambda \,(A)}。

如果 A是R 的勒贝格可测子集，f 是一个 A到R 上的连续单射函数，则 f(A)也是勒贝格可测的。

简要地说，R的勒贝格可测子集组成一个含所有区间及其笛卡尔积的σ代数，且λ是其上唯一的完备的、平移不变的、满足λ λ -->([0,1]× × -->[0,1]× × -->⋯ ⋯ -->× × -->[0,1])=1{\displaystyle \lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1}的测度。

勒贝格测度是σ-有限测度。

零测集

R的子集是零测集，如果对于每一个ε > 0，它都可以用可数个区间的乘积来覆盖，其总体积最多为ε可数集可数集都是零测集。

如果R的子集的豪斯多夫维数小于n，那么它就是关于n维勒贝格测度的零测集。在这里，豪斯多夫维数是相对于R上的欧几里得度量（或任何与其等价的利普希茨度量）。另一方面，一个集合可能拓扑维数小于n，但具有正的n维勒贝格测度。一个例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集，它的拓扑维数为0，但1维勒贝格测度为正数。

为了证明某个给定的集合A是勒贝格可测的，我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B，与A只相差一个零测集，然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。

勒贝格测度的结构

勒贝格测度的现代结构，基于外测度，是卡拉特奥多里发明的。

固定n∈ ∈ -->N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }。Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}中的盒子是形如B=∏ ∏ -->i=1n[ai,bi]{\displaystyle B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]}的集合，其中bi≥ ≥ -->ai{\displaystyle b_{i}\geq a_{i}}。这个盒子的体积vol⁡ ⁡ -->(B){\displaystyle \operatorname {vol} (B)}定义为∏ ∏ -->i=1n(bi− − -->ai).{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).}

对于任何R的子集A，我们可以定义它的外测度λ λ -->∗ ∗ -->(A){\displaystyle \lambda ^{*}(A)}：

然后定义集合A为勒贝格可测的，如果对于所有集合S⊂ ⊂ -->Rn{\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}，都有：

这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。勒贝格测度定义为λ(A) = λ(A)对于任何勒贝格可测的集合A。

根据维塔利定理，存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果A是Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}的任何测度为正数的子集，那么A便有勒贝格不可测的子集。

与其他测度的关系

在所定义的集合上，博雷尔测度与勒贝格测度是一致的；然而，仍然有更多勒贝格可测的集合不是博雷尔可测的。博雷尔测度是平移不变的，但不是完备的。

哈尔测度可以定义在任何局部紧群上，是勒贝格测度的一个推广（带有加法的R是一个局部紧群）。

豪斯多夫测度（参见豪斯多夫维数）是勒贝格测度的一个推广，对于测量R的维数比n低的子集是很有用的，例如R³内的曲线或曲面，以及分形集合。不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数的概念混淆。

可以证明，在无穷维空间不存在勒贝格测度的类似物。

历史

勒贝格在1901年描述了他的测度，随后在第二年他描述了勒贝格积分。二者都是作为他在1902年的博士论文的一部分发表的。

参看

勒贝格密度定理

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