定义与模型

随机图的“随机”二字体现在边的分布上。一个随机图实际上是将给定的顶点之间随机地连上边。假设将一些纽扣散落在地上，并且不断随机地将两个纽扣之间系上一条线，这样就得到一个随机图的例子 。边的产生可以依赖于不同的随机方式，这样就产生了不同的随机图模型。一个典型的模型是埃尔德什和雷尼共同研究的 ER模型 。ER模型是指在给定 n 个顶点后，规定每两个顶点之间都有 p 的概率连起来（ 0 ⩽ ⩽ --> p ⩽ ⩽ --> 1 {\displaystyle 0\leqslant p\leqslant 1} ），而且这些判定之间两两无关。这样得到的随机图一般记作 G n p {\displaystyle G_{n}^{p}} 或 E R n ( p ) {\displaystyle ER_{n}(p)} 。

另一种随机图模型叫做 内积模型 。内积模型的机制是对每一个顶点指定一个实系数的向量，而两个顶点之间是否连接的概率则是它们的向量的内积的函数。

一般来说，可以定义任意两个顶点之间相连的概率，这个概率也被称为 边概率 。定义更广泛的随机图模型的方法是定义所谓的网络概率矩阵。这个矩阵的系数就是边概率，因此详细刻画了随机图的模型。

随机规则图是随机图中特殊的一类，它的性质可能会与一般的随机图不同。

性质

随着边概率的不同，随机图可能会呈现不同的属性。对于最典型的ER模型，埃尔德什与雷尼研究了当顶点数目 n 趋向于正无穷大时，ER随机图的性质与概率 p 之间的关系。他们发现，当 p 的值越过某些门槛时，ER随机图的性质会发生突然的改变 。ER随机图的许多性质都是突然涌现的，比如说，当 p 的值小于某个特殊值之前，随机图具有某个性质的可能性等于0，但当 p 的值大于这个特殊值以后，随机图具有这个性质的可能性会突然变成1。

举例来说，当概率 p 大于某个临界值 p c ( n ) 后，生成的随机图几乎必然是连通的（概率等于1）。也就是说，对于散落在地上的 n 个纽扣，如果你以这样的概率 p 将两个纽扣之间系上线，那么你拿起一颗纽扣时就几乎能带起所有的纽扣了 。

随机树

随机树是随机图的一类。如同随机图一样，随机树是一个经由随机过程建立的树。随机树的一种生成方法是利用随机置换。首先生成一个 n 2 ( n − − --> 1 ) {\displaystyle \scriptstyle {\frac {n}{2}}(n-1)} 阶随机置换函数，将 n 2 ( n − − --> 1 ) {\displaystyle \scriptstyle {\frac {n}{2}}(n-1)} 个可能连起来的边标上 1 至 n 2 ( n − − --> 1 ) {\displaystyle \scriptstyle {\frac {n}{2}}(n-1)} 的序号。然后按照从小到大的序号排列为原本没有边的图一一添加边。添加第 k {\displaystyle \scriptstyle k} 条边时，如果发现添加后会导致图现一个圈，那么就放弃添加这条边，而开始添加第 k + 1 {\displaystyle \scriptstyle k+1} 条边。最后得到的就是一个随机树 。

参见

玻色-爱因斯坦凝聚

腔体法

复杂网络

小世界网络

无尺度网络

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