的解决方式证明正式数学是以可以验证的事实为基础。在数学上，一个猜想不管有多少的例子支持，都无法让猜想变成定理，因为只要有一个反例立刻就可以推翻此一猜想。数学家会设法为猜想寻找反例，有时数学期刊的论文内容会提到针对猜想寻找反例的范围已经超过以往的纪录。例如考拉兹猜想内容是特定的整数数列是否会结束在特定的一个数值，已经针对1.2×10以下的所有整数进行测试。不过没有找到反证不代表反证不存在，也不代表猜想成立，有可能有极少数的反证存在，只是因为数值太大或是其他原因，尚未找到这个反证。一个猜想只有在逻辑上不可能为误时，才能视为此一猜想成立。作法有许多种，细节可以参考证明技巧。若猜想的可能反例只有有限多组时，有一种证明方式称为“暴力法”（bruteforce），就是用所有的反例一一验证，确定它们都不是反例。因为可能反例的数量可能很多，此时的暴力法可能需要配合一些实际的作法，例如用电脑算法来确认所有的...

内容对正整数n，rad⁡⁡-->(n){\displaystyle\operatorname{rad}(n)}表示n{\displaystylen}的质因数的积，称为n的根基（radical）。例如若正整数a,b,c=a+b互质，“通常”会有c<rad(abc)，例如：但是也有反例，例如：如上有多于一个整数可被小的质数的高次幂整除，使rad(abc)<c，是较特殊的情况。ABC@Home计划目的在寻找更多这样的例子。abc猜想（一）abc猜想也有以下等价的表述方式：abc猜想（二）abc猜想第三个表述方式，用到了三元组(a,b,c)的品质（quality），定义为：例如：q(4,127,131)=log(131)/log(rad(4·127·131))=log(131)/log(2·127·131)=0.46820....

章节大纲欧几里得所著的《几何原本》共分13卷。第一卷至第六卷的内容主要为平面几何。第一卷：几何基础。本卷确立了基本定义、公设和公理，还包括一些关于全等形、平行线和直线形的熟知的定理。第二卷：几何与代数。该卷主要讨论的是毕达哥拉斯学派的几何代数学，主要包括大量代数定理的几何证明。第三卷：圆与角。本卷阐述了圆、弦、割线、切线、圆心角、圆周角的一些定理。第四卷：圆与正多边形。本卷讨论了已知圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。第五卷：比例。本卷对欧多克索斯的比例理论进行阐述，第六卷：相似。本卷阐述了比例的属性，以及相似形的概念，包括了泰勒斯定理。第七卷至第九卷主要阐述了数论。第七卷：数论（一）。本卷内容包括整除性、质数、最大公约数、最小公倍数等初等数论内容。第八卷：数论（二）。本卷继续讨论初等数论，包括欧几里得辗转相除法、各种数的关系（如质数、合数、平方数、立方数等）。第九卷：数论（三）。本...

名词由来symplectic这个名词，是赫尔曼·外尔所提出来的。他原来把symplecticgroup（辛群）称为complexgroup，以带出linecomplex的含意。不过complex会令人联想起complexnumber（复数），因此他将complex改为对应的希腊文symplectic一词。complex源自拉丁文complexus一词，词根是co-（共同）+plexus（编织），意为“织在一起”，相对应希腊文词根是sym-plektikos（συμπλεκτικός），结合成symplectic一词。参看辛流形哈密顿力学黎曼几何切触几何参考DusaMcDuffandD.Salamon,IntroductiontoSymplecticTopology,OxfordUniversityPress,1998.ISBN0-19-850451-9.A.T.Fomenko,Symple...

不相交的线已知在双曲几何上，至少有两条直线满足过P点平行直线R。接着在R上取一点B使得PB垂直R于B点，设在所有满足过P点且不与R相交的直线中，存在一条直线x与PB的逆时针方向夹角比其他直线都来的小，即任何一条直线若与PB的逆时针夹角小于x与PB的逆时针夹角，则必与R相交，并定义x为R的渐近线。同理，若存在另一条直线y与PB的顺时针方向夹角比其他直线都来的小，则y为R的另一条渐进线。并且，在所有满足过P点且不与R相交的直线中，唯有x与y是R的渐近线，其余的则称之为R的超平行线。由于满足小于90°且大于x与PB的夹角θ的角度有无线多个，每个角度皆可引出两条R的超平行线，因此R有无线多条超平行线。因此，对于平面上一条直线R以及线外的一点P，恰能引出两条直线过P且渐近于R，以及无限多条直线过P超平行于R。此外，渐进线和超平行线的差别还有：不论往线的哪端延伸，两条超平行线之间的距离皆会趋近于无限；...