历史

古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代数方程，它同时容许有正负数的根。

11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方。

例如：解关于x{\displaystyle x}的方程 ax2+bx=− − -->c{\displaystyle ax^{2}+bx=-c}

　　在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即4a{\displaystyle 4a}，得

4a2x2+4abx=− − -->4ac{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac}

　　在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即b2{\displaystyle b^{2}}，得

4a2x2+4abx+b2=− − -->4ac+b2{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}}

　　然后在方程的两边同时开二次方，得

2ax+b=± ± -->− − -->4ac+b22{\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}}[1]

解法

阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据a{\displaystyle a}、b{\displaystyle b}、c{\displaystyle c}三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。

一般来说，一元二次方程有两个解，答案需提供两个不同的数值，只要符合a≠ ≠ -->0{\displaystyle a\neq 0}的原则就可以了。

因式分解法

把一个一元二次方程变形成一般形式ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}后，如果ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}存在两个实根x1,x2{\displaystyle x_{1},x_{2}}，那么它可以因式分解为a(x− − -->x1)(x− − -->x2)=0{\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})=0}。

例如，解一元二次方程

时，可将原方程左边分解成(x− − -->1)(x− − -->2)=0{\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right)=0}。所以x− − -->1=0x− − -->2=0{\displaystyle x-1=0\quad x-2=0}，可解得x1=1x2=2{\displaystyle x_{1}=1\quad x_{2}=2}。

公式解法

对于ax2+bx+c=0(a≠ ≠ -->0){\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)}，它的根可以表示为：

有些时候也写成:x1,2=2c− − -->b± ± -->b2− − -->4ac .{\displaystyle x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}.}

公式解的证明

公式解可以由配方法得出。

首先先将一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}除以a{\displaystyle a}（a{\displaystyle a}在一元二次方程中不为零），我们将会得到

即

现在我们可以开始配方了。为了配方，我们必须要加上一个常数（在这个例子里，它是指一个不随x{\displaystyle x}而变的量）到等式的左边，使等式左边有完全平方x2+2xy+y2{\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}}的样子。当

我们得到

亦即当我们在式子的两边加上

我们将得到：

式子的左边变成了一个完全平方了。并且可以看出是(x+b2a){\displaystyle \left(x+{\tfrac {b}{2a}}\right)}的平方。式子的右边则可以通分成一个分数，因此式子变成了：

接下来，对式子的两边开根号：

最后，式子两边同时减去

b2a{\displaystyle {\frac {b}{2a}}}

公式解终于出现了：

一般化

一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

一元二次方程中的判别式

b2− − -->4ac{\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}}

应该理解为“如果存在的话，两个自乘后为 b2− − -->4ac{\displaystyle b^{2}-4ac} 的数当中任何一个”。在某些数域中，有些数平方根平方根。

根的判别式

对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(0){\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(0\right)}，Δ Δ -->=b2− − -->4ac{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}称作一元二次方程根的判别式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

如果Δ Δ -->>0{\displaystyle \Delta >0}，则这个一元二次方程有两个不同的实数根。如果系数都为有理数，且Δ Δ -->{\displaystyle \Delta }是一个完全平方数，则这两个根都是无理数，否则这两个根都是无理数。

如果Δ Δ -->=0{\displaystyle \Delta =0}，则这个一元二次方程有两个相等的实数根。而且这两个根皆为

如果Δ Δ --><0{\displaystyle \Delta <0}，则这个一元二次方程有两个不同的复数根，且为共轭复根。这时根为

非实系数一元二次方程

即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。

根与系数

根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与方程中系数的关系。

图像解法

Δ Δ -->>0{\displaystyle {\color {Red}{}\Delta >0}}，则该函数与x轴相交（有两个交点）Δ Δ -->=0{\displaystyle {\color {Blue}{}\Delta =0}}，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）Δ Δ --><0{\displaystyle {\color {Green}{}\Delta <0}}，则该函数与x轴相离（没有交点）

一元二次方程ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}的根的几何意义是二次函数y=ax2+bx+c{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}的图像（为一条抛物线）与x{\displaystyle x}轴交点的X坐标。

ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}的解是y=x2{\displaystyle y=x^{2}}和y=− − -->bax− − -->ca{\displaystyle y=-{\begin{matrix}{\frac {b}{a}}x\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac {c}{a}}\end{matrix}}}交点的X座标

另外一种解法是把一元二次方程ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}化为

则方程ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}的根，就是函数y=x2{\displaystyle y=x^{2}}和y=− − -->bax− − -->ca{\displaystyle y=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}}交点的X坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法

在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算类似，大部分情况下也是根据下面的公式去解

可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数)

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