性质

一个凸对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部，比如一个环或碗的几何中心不在内部。

三角形的中心

形心是三角形的几何中心，通常也称为重心，三角形的三条中线（顶点和对边的中点的连线）交点，此点即为重心。

三条中线共点证明

三条中线共点证明

用西瓦定理逆定理可以直接证出：

因此三线共点。

中心分每条中线比为2:1，这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的1/3。如右图所示：

如果三角形是由均匀材料做成的薄片，那么几何中心也就是质量中心。它的笛卡尔坐标是三个顶点的坐标算术平均值。也就是说，如果三顶点位于(xa,ya){\displaystyle (x_{a},y_{a})}，(xb,yb){\displaystyle (x_{b},y_{b})}，和(xc,yc){\displaystyle (x_{c},y_{c})}，那么几何中心位于：

三角形的中心一般用字母G表示。在任何一个三角形中，外心O、中心M、九点圆圆心F和垂心H四点共线，且OG¯ ¯ -->:OF¯ ¯ -->:OH¯ ¯ -->=1:2:3{\displaystyle {\overline {OG}}:{\overline {OF}}:{\overline {OH}}=1:2:3欧拉这个定理最早由欧拉证明，故称为欧欧拉线，这条线称为欧拉线。类似的有，内心I、中心G和奈格尔点N三点共线，且IG¯ ¯ -->:IN¯ ¯ -->=1:3{\displaystyle {\overline {IG}}:{\overline {IN}}=1:3}。

三角形中心的等角共轭点称为类似重心。

中心分中线为2:1的证明

设三角形ABC的中线AD，BE和CF交于三角形的中心G，延长AD至点O使得

那么三角形AGE和AOC相似（公共角A，AO = 2 AG，AC = 2 AE），所以OC平行于GE。但是GE是BG的延长，所以OC平行于BG。同样的，OB平行于CG。

从而图形GBOC是一个平行四边形。因为平行四边形对角线互相平分，对角线GO和BC的交点使得GD = DO，这样

所以，AG=GO=2GD{\displaystyle AG=GO=2GD\,}，或AG:GD=2:1{\displaystyle AG:GD=2:1\,}，这对任何中线都成立。

性质

三角形的重心与三顶点连线，所形成的六个三角形面积相等。

顶点到重心的距离是中线的23{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}。

重心、外心、垂心、九点圆圆心四点共线。

重心、内心、奈格尔点、类似重心四点共线。

三角形的重心同时也是中点三角形的重心。

在直角座标系中，若顶点的座标分别为(x1,y1){\displaystyle (x_{1},y_{1})}、(x2,y2){\displaystyle (x_{2},y_{2})}、(x3,y3){\displaystyle (x_{3},y_{3})}，则中点的座标为：

三线坐标中、重心的座标为：

四面体的中心

类似三角形的中心的结论对四面体也成立，四面体的几何中心是所有顶点和相对平面中心的连线的交点。这些线段被中心分成3:1。这个结论能自然推广到任何n{\displaystyle n}-维单形。如果单形的顶点集是v0,...,vn{\displaystyle {v_{0},...,v_{n}}}，将这些顶点看成向量，几何中心位于：

多边形的中心

一个由N个顶点（xi , yi）确定的不自交闭多边形的中心能如下计算：

记号（ xN , yN）与顶点（ x0 , y0）相同。多边形的面积为：

多边形的中心由下式给出：

有限点集的中心

给定有限点集 x1,x2,… … -->,xk{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}}属于Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}，它们的中心定义C{\displaystyle C}为

面积中心

面积中心和质量中心非常类似，面积中心只取决于图形的几何形状。如果物体是均匀的，质量中心将位于面积中心。

对于两部分组成的图形，将有如下等式：

y¯ ¯ -->{\displaystyle {\overline {y}}}是特定部分的面积中心到所选参考系的距离。A{\displaystyle A}是特定部分的面积。

当一个复杂几何图形可以分成一些已知的简单几何图形时，先计算各部分的面积中心，然后通过下面一般的公式计算整个图形的面积中心：

这里从y-轴到中心的距离是x¯ ¯ -->{\displaystyle {\overline {x}}}，从x-轴到中心的距离是y¯ ¯ -->{\displaystyle {\overline {y}}}，中心的坐标是(x¯ ¯ -->,y¯ ¯ -->){\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}})}。

积分公式

一个平面图形的中心的横坐标（x轴）由积分

这里f（x）是对象位于在横坐标x点y轴上的长度，是在x图形的测度。这个公式能由区域关于y-轴的第一矩（en:First moment of area）得出。

这个过程等价于取加均。假设y-轴表示频率，x-轴表示欲求平均值的变量，那么沿着x-轴的中心即 x¯ ¯ -->{\displaystyle {\bar {x}}}。从而中心可以想象成表示特定形状的许多无限小元的加均。

对任意维数n，由相同的公式得出Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}中一个对象的中心第一个坐标，假设f (x)是对象在坐标x的截面（也就是说，对象中第一个坐标为x的所有点的集合）的（n-1）-维测度。

注意到分母恰是对象的n- 维测度。特别的，在f为正规时，即分母为1，中心也称为f的平均。

当对象的测度为0或者积分发散，这个公式无效。

圆锥和棱锥的中心

圆锥或棱锥的中心位于连接顶点和底的中心的线段上，分比为3:1。

对称中心

如果中心确定了，那么中心是所有它对称群的不动点。从而对称能全部或部分确定中心，取决于对称的种类。另外可以知道，如果一个对象具有传递对称性，那么它的中心是不确定的或不在内部，因为一个传递变换群没有不动点。

地理中心

地理学中，地球表面一个区域的几何中心也称为地理中心。

参见

重心列表

帕普斯中心定理

K-平均算法

中点

外心

内心

垂心

奈格尔点

类似中线

欧拉线

西瓦定理

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