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解析函数

2020-10-16

出处：族谱网

作者：阿族小谱

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定义形式地说，一个定义于实数线内的开集，其映射的值也在实数线上时(用符号表示这句话就是，若开集D⊂⊂-->R{displaystyleDsubsetmathbb{R}}，且函数f:D→→-

定义

形式地说，一个定义于实数线内的开集，其映射的值也在实数线上时(用符号表示这句话就是，若开集D⊂ ⊂ -->R{\displaystyle D\subset \mathbb {R} } ，且函数 f:D→ → -->R{\displaystyle f:D\rightarrow \mathbb {R} } 时)，此映射被称作（实）函数，若对任何 x0∈ ∈ -->D{\displaystyle x_{0}\in D} 都存在 x0{\displaystyle x_{0}} 在 D{\displaystyle D} 中的开邻域，使得 f{\displaystyle f} 在其内可表为下述收敛幂级数,则此（实）函数即可称为（实）解析函数：

其中系数 ai{\displaystyle a_{i}} 皆为实数。复解析函数的定义类此，仅须将上式的中的实数线换作复平面，并将实数换作复数即可。

实解析函数也可以定义为在定义域 D{\displaystyle D} 内每一点 x0{\displaystyle x_{0}} 的泰勒级数皆收敛的光滑函数f{\displaystyle f}，即：

在 |x− − -->x0|{\displaystyle |x-x_{0}|} 足够小的时候收敛到 f(x){\displaystyle f(x)}。

例子

任何多项式（实或复）皆是解析函数。

指数函数是解析函数。

三角函数是解析函数。

以上两例皆可藉泰勒级数的收敛性证明

绝对值函数非解析函数，因为它在零点不可微。

复共轭函数非复解析函数，但是它在实数线上的限制（即恒等映射）是解析函数。

基本性质

凡解析函数皆属光滑函数。

解析函数的和、积与合成仍是解析函数（惟合成时须留意定义域的问题）。

若解析函数在一个开集上非零，则它在该开集上的倒数仍为解析函数。

事实上，假设所论解析函数皆可在原点附近一开集 B(0,r):={x:|x|<r}{\displaystyle B(0,r):=\{x:|x| 上表为幂级数，则上述运算可以形式地操作：

其中每个运算结果的系数都可以写成有限的代数式。

一个多项式的零点数不大于它的次数，解析函数的零点也有类似的限制：若一解析函数的零点集在定义域内有极限点，则函数在含该点的连通成分上恒为零。此外，若解析函数在一点的各阶导数皆为零，则该函数在含该点的连通成分上为常数函数。

这些性质表明：即使解析函数较多项式来的广，它仍是一个具相当“刚性”的数学对象。

解析与可微

本段中提到的光滑却非解析的函数

如上所述，实或复解析函数均在实变数的意义上无穷可微（记作光滑函数，或 C∞ ∞ -->{\displaystyle C^{\infty }}）。但是存在光滑却非解析的函数，典型的例子是

可证明它是光滑的，且在原点的任意开邻域内都有无穷多个零点，故非解析。

复解析函数则不同：凡复解析函数必为全纯函数（即复可导，以实变数表示则是满足柯西-黎曼方程），反之亦然，因此全纯函数与解析函数在复分析中是同一类对象。

实解析函数与复解析函数

实解析与复解析函数有些重要差异，一般而言复解析函数更具刚性。

依据刘维尔定理，定义在整个复平面上的有界解析函数必为常数。此结论对实解析函数不成立，例如：

此外，若一个复解析函数在一个以 x0{\displaystyle x_{0}} 为中心的开圆盘内有定义，则在 x0{\displaystyle x_{0}} 的幂级数展式在该开圆盘内收敛。对实解析函数则不然。

给定实数线上一个区间I{\displaystyle I} 内的实解析函数 f{\displaystyle f}，则 f{\displaystyle f} 能延拓为复平面上一开集 U⊃ ⊃ -->I{\displaystyle U\supset I} 内的复解析函数。然而定义在整个 R{\displaystyle \mathbb {R} } 上的实解析函数不一定能延拓到整个 C{\displaystyle \mathbb {C} }，如前例之 f{\displaystyle f}。

超度量域上的解析函数

幂级数可以定义在任意域上，取带有绝对值的域则能探讨收敛性。实解析函数与复解析函数分别对应到 R{\displaystyle \mathbb {R} } 与 C{\displaystyle \mathbb {C} }；在数论上也考虑超度量域，如p进数域 Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 或 Cp:=Q¯ ¯ -->p^ ^ -->{\displaystyle \mathbb {C} _{p}:={\widehat {{\bar {\mathbb {Q} }}_{p}}}}。

由于超度量域满足强三角不等式|x+y|≤ ≤ -->max(|x|,|y|){\displaystyle |x+y|\leq \mathrm {max} (|x|,|y|)}，遂具备许多独特性质，例如 ∑ ∑ -->iai{\displaystyle \sum _{i}a_{i}} 收敛当且仅当limi→ → -->∞ ∞ -->ai=0{\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i}=0}。虽然超度量分析缺乏实数或复数上的直观，技术上却往往简单得多。

多元解析函数

利用多元幂级数，可将解析函数的定义直接推广到多变元的情形。它们是局部上形如

的函数，其中 x,a{\displaystyle x,a} 皆为向量，而 I{\displaystyle I} 代表多重指标。

二维以上的解析函数有一些有趣的新性质，复解析函数的情形尤其特出。