解析函数
定义
形式地说,一个定义于实数线内的开集,其映射的值也在实数线上时(用符号表示这句话就是,若开集D⊂ ⊂ -->R{\displaystyle D\subset \mathbb {R} } ,且函数 f:D→ → -->R{\displaystyle f:D\rightarrow \mathbb {R} } 时),此映射被称作(实)函数,若对任何 x0∈ ∈ -->D{\displaystyle x_{0}\in D} 都存在 x0{\displaystyle x_{0}} 在 D{\displaystyle D} 中的开邻域,使得 f{\displaystyle f} 在其内可表为下述收敛幂级数,则此(实)函数即可称为(实)解析函数:
其中系数 ai{\displaystyle a_{i}} 皆为实数。复解析函数的定义类此,仅须将上式的中的实数线换作复平面,并将实数换作复数即可。
实解析函数也可以定义为在定义域 D{\displaystyle D} 内每一点 x0{\displaystyle x_{0}} 的泰勒级数皆收敛的光滑函数f{\displaystyle f},即:
在 |x− − -->x0|{\displaystyle |x-x_{0}|} 足够小的时候收敛到 f(x){\displaystyle f(x)}。
例子
任何多项式(实或复)皆是解析函数。
指数函数是解析函数。
三角函数是解析函数。
以上两例皆可藉泰勒级数的收敛性证明
绝对值函数非解析函数,因为它在零点不可微。
复共轭函数非复解析函数,但是它在实数线上的限制(即恒等映射)是解析函数。
基本性质
凡解析函数皆属光滑函数。
解析函数的和、积与合成仍是解析函数(惟合成时须留意定义域的问题)。
若解析函数在一个开集上非零,则它在该开集上的倒数仍为解析函数。
事实上,假设所论解析函数皆可在原点附近一开集 B(0,r):={x:|x|<r}{\displaystyle B(0,r):=\{x:|x| 上表为幂级数,则上述运算可以形式地操作:
其中每个运算结果的系数都可以写成有限的代数式。
一个多项式的零点数不大于它的次数,解析函数的零点也有类似的限制:若一解析函数的零点集在定义域内有极限点,则函数在含该点的连通成分上恒为零。此外,若解析函数在一点的各阶导数皆为零,则该函数在含该点的连通成分上为常数函数。
这些性质表明:即使解析函数较多项式来的广,它仍是一个具相当“刚性”的数学对象。
解析与可微
本段中提到的光滑却非解析的函数
如上所述,实或复解析函数均在实变数的意义上无穷可微(记作光滑函数,或 C∞ ∞ -->{\displaystyle C^{\infty }})。但是存在光滑却非解析的函数,典型的例子是
可证明它是光滑的,且在原点的任意开邻域内都有无穷多个零点,故非解析。
复解析函数则不同:凡复解析函数必为全纯函数(即复可导,以实变数表示则是满足柯西-黎曼方程),反之亦然,因此全纯函数与解析函数在复分析中是同一类对象。
实解析函数与复解析函数
实解析与复解析函数有些重要差异,一般而言复解析函数更具刚性。
依据刘维尔定理,定义在整个复平面上的有界解析函数必为常数。此结论对实解析函数不成立,例如:
此外,若一个复解析函数在一个以 x0{\displaystyle x_{0}} 为中心的开圆盘内有定义,则在 x0{\displaystyle x_{0}} 的幂级数展式在该开圆盘内收敛。对实解析函数则不然。
给定实数线上一个区间I{\displaystyle I} 内的实解析函数 f{\displaystyle f},则 f{\displaystyle f} 能延拓为复平面上一开集 U⊃ ⊃ -->I{\displaystyle U\supset I} 内的复解析函数。然而定义在整个 R{\displaystyle \mathbb {R} } 上的实解析函数不一定能延拓到整个 C{\displaystyle \mathbb {C} },如前例之 f{\displaystyle f}。
超度量域上的解析函数
幂级数可以定义在任意域上,取带有绝对值的域则能探讨收敛性。实解析函数与复解析函数分别对应到 R{\displaystyle \mathbb {R} } 与 C{\displaystyle \mathbb {C} };在数论上也考虑超度量域,如p进数域 Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 或 Cp:=Q¯ ¯ -->p^ ^ -->{\displaystyle \mathbb {C} _{p}:={\widehat {{\bar {\mathbb {Q} }}_{p}}}}。
由于超度量域满足强三角不等式|x+y|≤ ≤ -->max(|x|,|y|){\displaystyle |x+y|\leq \mathrm {max} (|x|,|y|)},遂具备许多独特性质,例如 ∑ ∑ -->iai{\displaystyle \sum _{i}a_{i}} 收敛当且仅当limi→ → -->∞ ∞ -->ai=0{\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i}=0}。虽然超度量分析缺乏实数或复数上的直观,技术上却往往简单得多。
多元解析函数
利用多元幂级数,可将解析函数的定义直接推广到多变元的情形。它们是局部上形如
的函数,其中 x,a{\displaystyle x,a} 皆为向量,而 I{\displaystyle I} 代表多重指标。
二维以上的解析函数有一些有趣的新性质,复解析函数的情形尤其特出。
相关条目
伪解析函数
文献
Conway, John B. Functions of One Complex Variable I (Graduate Texts in Mathematics 11). Springer-Verlag. 1978. ISBN 978-0-387-90328-6.
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