数学定义

一个在两个仿射空间之间的仿射变换，是在向量上呈现线性之坐标点的变换（即为空间中点与点之间的向量）。以符号表示的话， f {\displaystyle f} "使得 φ φ --> {\displaystyle \varphi } ，决定任一对点的线性变换： P , Q ∈ ∈ --> A {\displaystyle P,Q\in {\mathcal {A}}} :

或者 f ( Q ) − − --> f ( P ) = φ φ --> ( Q − − --> P ) {\displaystyle f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P)} .

其他定义

. 我们可以将此定义继续延伸： 假设选定一原点 , O ∈ ∈ --> A {\displaystyle O\in {\mathcal {A}}} 且 B {\displaystyle B} 表示其图像 f ( O ) ∈ ∈ --> B {\displaystyle f(O)\in {\mathcal {B}}} , 如此即代表对任何向量 x → → --> {\displaystyle {\vec {x}}} : f : ( O + x → → --> ) ↦ ↦ --> ( B + φ φ --> ( x → → --> ) ) . {\displaystyle f:(O+{\vec {x}})\mapsto (B+\varphi ({\vec {x}})).}

假设选定一原点 O ′ ∈ ∈ --> B {\displaystyle O"\in {\mathcal {B}}} ,此即可以拆解成一仿射变换 g : A → → --> B {\displaystyle g:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 使得 O ↦ ↦ --> O ′ {\displaystyle O\mapsto O"} , 特定而言

总结即，很直观的， f {\displaystyle f} 包含了一个变换与线性坐标。

给定同一场中的两个仿射空间 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 与 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} , 一函数 f : A → → --> B {\displaystyle f:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 为一仿射映射当且仅当对任一加权点的集合 { ( a i , λ λ --> i ) } i ∈ ∈ --> I {\displaystyle \{(a_{i},\lambda _{i})\}_{i\in I}} of weighted points in A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 于 such that

我们得到

此定义等价于 f {\displaystyle f} 保留了质心.

表示

如上所示，仿射变换为两函数的复合：平移及线性映射。普通向量代数用矩阵乘法呈现线性映射, 用向量加法表示平移。正式言之，于有限维度之例中，假如该线性映射被表示为一矩阵“Ａ”，平移被表示为向量 b → → --> {\displaystyle {\vec {b}}} ，一仿射映射 f {\displaystyle f} 可被表示为

增广矩阵

"> 播放媒体 二维平面上的仿射变换可呈现于三维空间中。平移即为沿着z轴的错切，旋转则以z轴为轴心

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