应用

运动常数的辨认对于研究物理问题是非常重要的。通过解析运动常数，可以明了许多物体运动的性质，而不需将运动方程的解答完全计算出来。假若一个物体的角动量矢量是恒定的，则此物体的轨迹（Trajectory）必包含于一个平面。在有些幸运的状况下，甚至连运动轨迹都可以简单地导引出来；因为它们是运动常数的等值曲面之相交线。举例而言，从潘索椭圆球（Poinsot"s ellipsoid）可以观察出，一个净力矩等于零的刚体的旋转，其角速度轨迹是一个圆球（角动量守恒）与一个椭圆球（能量守恒）的相交。用别种方法，这答案或许很不容易导引出。因此，运动常数的辨认是很重要的研究目标。

辨认运动常数的方法

辨认运动常数的方法有好几种：

最简单，但最无系统的方法是靠直觉。假设一个物理量是运动常数（或许是从分析实验数据而得到的结论）。经过数学证明，可以论定，在物体的运动过程中，此量的值是保守的。

哈密顿-亚可比方程给予一个常用与直接的方法来认明运动常数，特别是当采用正交坐标的哈密顿量，呈现出可辨认的函数形式。

另外一种方法应用下述事实：每一个守恒量的量值都相应于一个拉格朗日量的对称性。诺特定理给予一个有系统的方法，从对称性导引出守恒量。例如，拉格朗日量对于时间演化（英语：time evolution）的不变性，造成了能量守恒；拉格朗日量对于空间平移的不变性（平移对称性），造成了动量守恒；拉格朗日量对于空间转动的不变性，造成了角动量守恒。反过来说也是正确的；每一个拉格朗日量的对称性相应于一个运动常数

假若一个物理量A{\displaystyle A}，既不是显性地含时间，又与哈密顿量的泊松括号等于零，则此物理量是保守的：

另外一个很有用的理论，泊松定理阐明：假若A{\displaystyle A}与B{\displaystyle B}都是运动常数，则它们的泊松括号[A, B]{\displaystyle [A,\ B]}也是运动常数。

一个物理系统，假若拥有n{\displaystyle n}个自由度，n{\displaystyle n}个运动常数，其任何一对运动常数的泊松括号等于零，则称此系统为完全可积分系统（completely integrable system）。称这一集合的运动常数互相对合。

量子力学

假若，一个可观测量Q{\displaystyle Q}与哈密顿量H{\displaystyle H}是可交换的，而且不显性地含时间，则此可观测量是个运动常数。

导引

假设，一个可观测量Q=Q(x,p,t){\displaystyle Q=Q(x,p,t)}跟位置x{\displaystyle x}、动量p{\displaystyle p}、时间t{\displaystyle t}有关。再假设一个波函数ψ ψ -->{\displaystyle \psi }遵守薛定谔方程iℏ ℏ -->∂ ∂ -->ψ ψ -->∂ ∂ -->t=Hψ ψ -->{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi }。求Q{\displaystyle Q}期望值对于时间t{\displaystyle t}的导数，

其中，[H,Q]=HQ− − -->QH{\displaystyle [H,Q]=HQ-QH}是交换子。

假若，Q{\displaystyle Q}与哈密顿量H{\displaystyle H}是可交换的，而且不显性地含时间，则

所以，Q{\displaystyle Q}是运动常数。

参阅

守恒定律

正则变换

哈密顿力学

拉格朗日力学

参考文献

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X. 

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