定义

空间 X{\displaystyle X} 的第 k{\displaystyle k} 个贝蒂数（k{\displaystyle k} 为非负整数）定义为

上式的同调群可以任意域为系数。

例子

圆环 S1{\displaystyle S^{1}} 的贝蒂数依次为 1,1,0,0,0,… … -->{\displaystyle 1,1,0,0,0,\ldots }。

二维环面的贝蒂数依次为 1,2,1,0,0,0,… … -->{\displaystyle 1,2,1,0,0,0,\ldots }。

三维环面的贝蒂数依次为 1,3,3,1,0,0,0,… … -->{\displaystyle 1,3,3,1,0,0,0,\ldots }。

一般而言，n{\displaystyle n} 维环面的贝蒂数由二项式系数给出，此命题可透过下节叙述的性质证明。

无穷维空间可以有无穷多个非零的贝蒂数，例如无穷维复射影空间 P∞ ∞ -->{\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }} 的贝蒂数依次为 1,0,1,0,1,… … -->{\displaystyle 1,0,1,0,1,\ldots }（周期为二）。

性质

闭曲面的第一个贝蒂数描述了曲面上的“洞”数。环面之 b1=2{\displaystyle b_{1}=2}；一般而言，闭曲面的 b1{\displaystyle b_{1}} 等于“洞”或“把手”个数之两倍。可定向紧闭曲面可由其 b1{\displaystyle b_{1}} 完全分类。

有限单纯复形或CW复形的贝蒂数有限。当 k{\displaystyle k} 大于复形维度时，bk=0{\displaystyle b_{k}=0}。

对于有限 CW 复形，定义其庞加莱多项式为贝蒂数的生成函数

对于任意 X,Y{\displaystyle X,Y}，有

对于 n{\displaystyle n}-维可定向闭流形X{\displaystyle X}，庞加莱对偶定理给出贝蒂数的对称性

贝蒂数与微分形式

在微分几何及微分拓扑中，所论的空间 X{\displaystyle X} 通常是闭流形，此时拓扑不变量 bk{\displaystyle b_{k}} 可以由源自流形微分结构的微分形式计算。具体言之，考虑复形

其中 Ak(X){\displaystyle A^{k}(X)} 表 k{\displaystyle k} 次微分形式构成的向量空间，d{\displaystyle d} 为外微分。则

这是德拉姆上同调理论的简单推论。

德拉姆上同调的不便之处，在于它考虑的是微分形式的等价类，其间可差一个 Im(d:Ak− − -->1→ → -->Ak){\displaystyle \mathrm {Im} (d:A^{k-1}\to A^{k})} 之元素。设流形 X{\displaystyle X} 具有黎曼度量，则可以定义微分形式的“长度”。我们若尝试以变分法在等价类中找最短元素，透过形式计算可知存在唯一最短元素 ω ω -->∈ ∈ -->Ak(X){\displaystyle \omega \in A^{k}(X)}，且为调和形式 ：Δ Δ -->ω ω -->=0{\displaystyle \Delta \omega =0}，在此拉普拉斯算子Δ Δ -->{\displaystyle \Delta } 依赖于流形的度量，在局部座标系下可表为椭圆偏微分算子。这套想法催生的霍奇理论在复几何中扮演关键角色。

文献

F.W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer (1983).

J.Roe, Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods, Second Edition (Research Notes in Mathematics Series 395), Chapman and Hall (1998).

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