升力公式

此定理和在二维流场中的翼型（或是翼展无穷大的圆柱）有关，可以计算单位翼展下的升力。当环量Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma \,}已知，其升力L{\displaystyle L\,}除以翼展下的单位翼展升力（或表示为L′{\displaystyle L"\,}）可以表示为以下的方程式：

其中

上述环量是沿着一个封闭围道C{\displaystyle C}进行，此围道包覆着翼型或是圆柱，且沿着其正方向（逆时针）进行。其路径需在位流的范围内，不能在圆柱的边界层内。被积分式Vcos⁡ ⁡ -->θ θ -->{\displaystyle V\cos \theta \,速度局部流体速度沿着曲线C{\displaystyle C\,}切线方向的分量，且ds{\displaystyle ds\,}为曲线C{\displaystyle C\,}的无穷小面积。方程式(1)是库塔-儒可夫斯基定理中的一个形式。

Kuethe和Schetzer用以下的话描述库塔-儒可夫斯基定理：

在使用库塔-儒可夫斯基定理时，需注意环量Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma }的计算。

环量和库塔条件

一个产生升力的翼型或者具有弯度，或者是在均匀的流体中以一定攻角α α -->>0{\displaystyle \alpha >0\,}（机翼弦线和平移方向的角度）平移。而且翼型需要有一个锐利的后缘。上述条件类似鸟的翅膀，有锐利的后缘，有弯度，在天空中有一定的攻角。

实际的流体是有黏性的，流体速度在翼型边缘为零，因此若考虑黏性流体，且以翼型形状为围道计算环量，其环量也为零。甚至由翼形上方及下方的流体会在后缘相会，而黏滞耗散会使流体不旋转。这称为真实流场的库塔条件。普朗特发现若雷诺数Re=ρ ρ -->V∞ ∞ -->cAμ μ -->{\displaystyle Re={\frac {\rho V_{\infty }c_{A}}{\mu }}\,}够大，攻角够小，翼型够薄，则流场可以分为靠近机翼小区域的黏滞层（称为边界层），以及其他区域的非黏性流。

库塔和儒可夫斯基发现在计算雷诺数够大，攻角够小，厚度够薄的翼型之压力和升力时，若假定已考虑库塔条件，可以假设整个流场是非黏性流。这称为位流理论，在实务上结果相当接近。在非黏性流施加库塔条件相当于计算环量。

简单来说，类似鸟翅膀的机翼自然会产生升力，在飞行中的流场满足库塔条件。若使用位流理论（在计算压力及升力时假设是非黏性流及无旋转流，计算阻力时用普朗特边界层来近似），要求飞行时间符合库塔条件，会得到一个由=库塔-儒可夫斯基定理和环量产生的升力，和实际的升力非常接近。

推导

以下有二种推导方式，第一个是基于物理的直觉，较启发式的推导，第二种是比较正式及技术式的推导，需要用到向量分析及复变分析的知识。

启发式的推导

以较启发式的说法，考虑一个薄的机翼，其翼弦为c{\displaystyle c}，有无限长的翼展，在密度为ρ ρ -->{\displaystyle \rho空气的空气中移动。令翼和气流有一个攻角，使翼的一侧的气流速度为V{\displaystyle V}，另一侧的气流速度为V+v{\displaystyle V+v}，因此其环流为

机翼两侧的压力差Δ Δ -->P{\displaystyle \Delta P}可以由伯努利定律求得

因此单位翼展的浮力为

此理论的微分版本可应用在机翼中的每一个元素，也是薄翼理论（thin-airfoil theory）的基础。

正式的推导

较复杂情形下的升力

库塔-儒可夫斯基定理预测的升力是以无粘性流的势流理论为基础，但若流场是稳定且无分离的，库塔-儒可夫斯基定理的结果很接近实际的黏性流。

在推导库塔-儒可夫斯基定理时，有假设流场是无旋转流，若在物体外有自由涡流，就像许多不稳定流的情形，此流场为旋转流，在推导升力时就需要一些更复杂的理论。

小攻角下突然启动的流场：若是机翼突然加速，或是攻角较小的情形下突然启动的流场，在机翼后缘会连续的出现涡片（英语：vortex sheet）泄离，此时的升力是时变不稳定的。若是小攻角下启动的流场，涡片会延著平面的路径，升力系数（英语：lift coefficient）的曲线会随时间而变化，其形式会是Wagner函数。此时最终升力会如同库塔-儒可夫斯基定理所预测的一样，但初升力只有最终升力的一半。当机翼前进七倍翼弦的距离时，其升力才会达到最终升力的90%。

大攻角下突然启动的流场：若攻角够大的话，机翼后缘的涡片一开始会是螺旋形的，理论升力在一开始会是无限大。一般认为升力的曲线是随时间单调递增的，但在大攻角下，会有一段很短暂的时间会有升力下降的情形。

大攻角下启动，有锐利的机翼前缘：若针对一片平粄，也有锐利的前缘，涡片泄离会出现在前缘，而前缘的涡片泄离有二种不同的效果：

Lagally定理：若在机翼外面有固定的涡源，其对升力的修正可以表示为涡源的强度，及因其他因素造成涡源处诱导速度，这称为Lagally定理。。

相关条目

马格努斯效应

马蹄形旋涡

升力系数（英语：Lift coefficient）

库塔条件

翅膀

参考资料

Batchelor, G. K. (1967) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press

Clancy, L.J. (1975), Aerodynamics, Pitman Publishing Limited, London ISBN 0-273-01120-0

A.M. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-50952-3

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