基本性质

容易证明，刘维尔数一定是无理数。若不然，则x=cd,(c,d∈ ∈ -->Z,d>0){\displaystyle x={\frac {c}{d}},(c,d\in \mathbb {Z} ,d>0)}。 取足够大的n{\displaystyle n}使2n− − -->1>d{\displaystyle {2^{n-1}}>d}，在cd≠ ≠ -->pq{\displaystyle {\frac {c}{d}}\neq {\frac {p}{q}}}时有

与定义矛盾。

刘维尔常数

即

这是一个刘维尔数。取

那么对于所有正整数n{\displaystyle n}

超越性

所有刘维尔数都是超越数，但反过来并不对。例如，著名的e和π π --> {\displaystyle \pi }就不是刘维尔数。实际上，有不可数多的超越数都不是刘维尔数。

证明

刘维尔定理：若无理数α α -->{\displaystyle \alpha }是代数数，即整系数n{\displaystyle n}次多项式f{\displaystyle f}的根，那么存在实数A>0{\displaystyle A>0}，对于所有p,q∈ ∈ -->Z,q>0{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ,q>0}有

证明：令M=max{|f′(x)||x∈ ∈ -->[α α -->− − -->1,α α -->+1]}{\displaystyle M=\max \left\{\left|f"(x)\right||x\in \left[\alpha -1,\alpha +1\right]\right\}}，记f{\displaystyle f}的其它的不重复的根为 α α -->1,α α -->2,...,α α -->m{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}}，取这样的A

如果存在使定理不成立的p,q{\displaystyle p,q}，就有

那么，pq∈ ∈ -->[α α -->− − -->1,α α -->+1]∧ ∧ -->pq∉ ∉ -->{α α -->1,α α -->2,...,α α -->m}{\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \left[\alpha -1,\alpha +1\right]\land {\frac {p}{q}}\notin \left\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}\right\}}

据拉格朗日中值定理，存在α α -->{\displaystyle \alpha }和pq{\displaystyle {\frac {p}{q}}}之间的x0{\displaystyle x_{0}}使得

有

f{\displaystyle f}是多项式，所以

由于|f′(x0)|≤ ≤ -->M{\displaystyle \left|f"(x_{0})\right|\leq M}和1/M>A{\displaystyle 1/M>A}

矛盾。

证明刘维尔数是超越数：有刘维尔数x{\displaystyle x}，它是无理数，如果它是代数数则

取满足12r≤ ≤ -->A{\displaystyle {\frac {1}{2^{r}}}\leq A}的正整数r{\displaystyle r}，并令m=r+n{\displaystyle m=r+n}，存在整数a,b{\displaystyle a,b}其中 b>1{\displaystyle b>1}有

与上式矛盾。故刘维尔数是超越数。

参见

丢番图逼近

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