整概形的情形

定义

若 X{\displaystyle X} 是仿射整概形，U⊂ ⊂ -->X{\displaystyle U\subset X} 为开集，则定义 KX(U){\displaystyle K_{X}(U)} 为 OX(U){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)} 的分式域。此时 KX{\displaystyle K_{X}} 是 OX(X){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(X)} 的分式域的常数层。

若 X{\displaystyle X} 是整概形，而非仿射概形，则任何非空仿射开集都稠密。对任何开集 U⊂ ⊂ -->X{\displaystyle U\subset X}，可以一致地定义 KX(U):=KV(U∩ ∩ -->V){\displaystyle K_{X}(U):=K_{V}(U\cap V)}，其中 V{\displaystyle V} 是任一非空仿射开集；这仍然是对应到一个域的常数层，该域称之为 X{\displaystyle X} 的函数域。另一种等价定义是 OX{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 在一般点的茎。

函数域与维度

设 k{\displaystyle k} 为域，X{\displaystyle X} 为不可约 k{\displaystyle k}-代数簇，则 KX{\displaystyle K_{X}} 是 k{\displaystyle k} 的域扩张，有时也写作 k(X){\displaystyle k(X)}。此扩张的超越次数等于 dim⁡ ⁡ -->X{\displaystyle \dim X}，此命题可以化约到仿射簇的情形诺特以诺特引理化引理证明。

例子

Z{\displaystyle \mathbb {Z} } 的函数域是 Q{\displaystyle \mathbb {Q} }。

以下设 k{\displaystyle k} 为域。

单点 Spec(k){\displaystyle \mathrm {Spec} (k)} 的函数域是 k{\displaystyle k} 本身。

仿射直线 Ak1{\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{1}} 与射影直线 Pk1{\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}} 的函数域都是 k(t){\displaystyle k(t)}，其中 t{\displaystyle t} 是 k{\displaystyle k} 上的超越元。

考虑平面曲线 y2=x5+1{\displaystyle y^{2}=x^{5}+1}，其函数域是 k(x,y){\displaystyle k(x,y)}，其中 x,y{\displaystyle x,y} 是 k{\displaystyle k} 上满足 y2=x5+1{\displaystyle y^{2}=x^{5}+1} 的超越元；一般代数曲线的函数域可以依此类推。当 k{\displaystyle k} 为有限域时，k{\displaystyle k}-代数曲线的函数域与数域之间有深刻的类比。

一般概形的情形

当 X{\displaystyle X} 不是整概形时，OX{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 在开集上的截面可能有零因子，此时分式域并不存在（详见 Kleiman 的文章）。正解如下：

若 X{\displaystyle X} 局部上可以分解成有限个整概形 X=⋃ ⋃ -->Xi{\displaystyle X=\bigcup X_{i}}（这对局部诺特概形皆成立），则对任何开集 U{\displaystyle U} 有

此时 KX{\displaystyle K_{X}} 是 X{\displaystyle X} 上的拟凝聚层。

与亚纯函数域的关系

在复代数几何中，基本的对象是不可约复解析簇，其上能局部地开展复分析，由此可以定义复解析簇上的亚纯函数；亚纯函数域是该簇上的亚纯函数之集合。在不可约 C{\displaystyle \mathbb {C} }-代数簇上，有理函数必为亚纯函数，反之则不然（考虑 AC1{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}）；若加上紧致条件，则可证明此时亚纯函数域确等于有理函数域。

文献

Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 （法语）. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

Kleiman, S., "Misconceptions about KX", Enseign. Math. 25 (1979), 203-206

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