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朗兰兹纲领

2020-10-16

出处：族谱网

作者：阿族小谱

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起源：数论我们可以二次互反律之推广阿廷互反律为朗兰兹纲领之起点：给定一个Q上的、伽罗瓦群为可交换群的数域，阿廷互反律向这个伽罗瓦群的任何一支一维表示配上一枚L函数，并断言：此等L-函数俱等于某些狄利克雷L函数（黎曼ζ函数的类推，由狄利克雷特征表达）。此二种L-函数之间的准确的联系构成了阿廷互反律。若给定不可交换伽罗瓦群及其高维表示，我们仍可定义一些自然的相配的L-函数——阿廷L函数。推广：自守表示理论架构朗兰兹洞察到：当找到适当的狄利克雷L-函数的推广，便有可能推广阿廷互反律。赫克（ErichHecke）曾联系全纯自守形式（定义于上半复平面上、满足某些函数方程的全纯函数）与狄利克雷L函数。朗兰兹推广赫克理论，以应用于自守尖点表示（自守尖点表示是Q-阿代尔环上一般线性群GLn的某类无限维不可约表示）。朗兰兹为这些自守表示配上L-函数，然后猜想：若要建立一一对应，须考虑较伽罗瓦群的适当扩张，称...

起源：数论

我们可以二次互反律之推广阿廷互反律为朗兰兹纲领之起点：给定一个Q上的、伽罗瓦群为可交换群的数域，阿廷互反律向这个伽罗瓦群的任何一支一维表示配上一枚L函数，并断言：此等 L-函数俱等于某些狄利克雷L函数（黎曼ζ函数的类推，由狄利克雷特征表达）。此二种L-函数之间的准确的联系构成了阿廷互反律。

若给定不可交换伽罗瓦群及其高维表示，我们仍可定义一些自然的相配的L-函数——阿廷L函数。

推广：自守表示理论架构

朗兰兹洞察到：当找到适当的狄利克雷L-函数的推广，便有可能推广阿廷互反律。

赫克（Erich Hecke）曾联系全纯自守形式（定义于上半复平面上、满足某些函数方程的全纯函数）与狄利克雷L函数。朗兰兹推广赫克理论，以应用于自守尖点表示（自守尖点表示是Q-阿代尔环上一般线性群GLn 的某类无限维不可约表示）。

朗兰兹为这些自守表示配上L-函数，然后猜想：

若要建立一一对应，须考虑较伽罗瓦群的适当扩张，称作韦依-德利涅群。在可交换的例子，这相当于将狄利克雷特征推广为赫克特征（德文旧称 Größencharakter）。互反猜想蕴含阿廷猜想。

再推广：函子性原则

朗兰兹再进一步推广：

以任何连通约化群G 代替上文中的一般线性群 GLn；

构筑复李群 G（所谓朗兰兹对偶群，或L群）；

以自守表示的L包代替自守表示；每个L包是自守表示组成的有限集，属同一L包的表示称作L不可辨的。

向每一个 G的自守尖点表示和每一个 G的有限维表示，配与一个L-函数；同一L包中的表示有相同的 L-函数及 ϵ ϵ -->{\displaystyle \epsilon }-因子。朗兰兹并猜想：此两个 L-函数满足某函数方程。

朗兰兹更构想了一道非常广泛的函子性原则（Functoriality Principle）：

函子性猜想蕴含广义拉马努金猜想。

函子性构想本质上是一种诱导表示构造（在传统的自守形式理论中称为提升，在某些特殊情况下已知），因而是协变的（相反地，受限表示构造是逆变的）。各种直接构造的尝试只产生了一些条件性的结果。

上述各猜想亦有其他域上的版本：数域（最早期的版本）、局部域及函数域（即Fp(t)的有限扩张；其中p 是一素数， Fp(t) 是 p 元有限域上的有理函数域）。局部域的与数域的朗兰兹纲领满足一些相容性，二者之方法亦互为用。

朗兰兹纲领的指导思想

朗兰兹纲领建基于当时已存在的念头：盖尔芳特之前几年写的《尖点形式之启示》（The Philosophy of Cusp Forms）；哈瑞希·昌得拉（en:Harish-Chandra）研究半单李群的结果和方法；而技术上则有塞尔伯格等的塞尔伯格迹公式。

朗兰兹的创见，除技术之深以外，在于他提出上述理论与数论的直接联系，以及其构想中丰富的总体结构（即所谓函子性者也）。

例如在哈瑞希·昌得拉的工作中，我们可见以下原则：

故一旦认清一些低维李群 —如 GL2 —在模形式理论之角色，并反观 GL1 在类域论之角色，我们至少可推测一般 GLn 的情况。

尖点形式之念头来自模曲线上的尖点，在谱理论上对应于离散谱；对比之下连续谱则来自艾森斯坦级数。但当给定的李群越大，则抛物子群越多，技术上则越复杂。

在此等研究途径中不乏各种技巧——通常基于列维分解等事实、具诱导表示的性质 ——但这领域一直都很困难。

在模形式方面，亦有例如希尔伯特模形式、西格尔模形式和 theta-级数等等面向。

内窥现象

内窥(Endoscopy)意谓“在一般共轭中窥见稳定共轭”；共轭意谓群的共轭作用 x↦ ↦ -->gxg− − -->1{\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}；稳定共轭则意谓可取 g∈ ∈ -->G(F¯ ¯ -->){\displaystyle g\in G({\bar {F}})}；稳定共轭类可分解为有限个一般共轭类。稳定共轭与一般共轭之别造成上述的L-不可辨性。

亚瑟-塞尔伯格迹公式是处理函子性猜想及志村簇的哈瑟-韦伊ζ函数之利器。在技术上，我们需要一稳定迹公式，稳定化有赖于将 G{\displaystyle G} 之一般轨道积分表成内窥群上的稳定轨道积分。内窥理论旨在配对群及其内窥群的轨道积分，称作内窥传递；其关键则是所谓的基本引理。

内窥传递不仅是工具，也涵摄函子性猜想的一些特例。

几何化朗兰兹纲领

数域上的朗兰兹纲领可以翻译到几何的框架，大略步骤如下：

以紧黎曼曲面C{\displaystyle C} 的亚纯函数域取代数域

以基本群取代伽罗瓦群

以局部系统取代伽罗瓦表示

以秩 n向量丛的模空间 Bunn/C{\displaystyle \mathrm {Bun} _{n/C}} 取代 GL(n,Q)∖ ∖ -->GL(n,AQ)/K{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {Q} )\backslash \mathrm {GL} (n,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })/K}

以反常层取代自守形式

以赫克本征层取代赫克本征形式

几何化朗兰兹纲领与规范场论

2006年，爱德华·威滕和 Anton Kapustin 建议：

以D-模演译赫克本征层；

以磁单极演译赫克算子。

参考

Edward Frenkel, Recent Advances in the Langlands Program

Edward Frenkel, Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory

Anton Kapustin, Edward Witten, Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program

Geometric Langlands Seminar

Geometric Langlands Program