定理

有限域的阶（有限域中元素的个数）是一个素数的方幂。

对于每个素数 p 和每个正整数 n 在同构的意义下存在惟一的 p n {\displaystyle p^{n}} 阶的有限域，并且所有元素都是方程 x p n − − --> x = 0 {\displaystyle x^{p^{n}}-x=0} 的根，该域的特征为 p 。

有限域的乘法群是循环群。即若 F 是有限群，则存在 α α --> ∈ ∈ --> F {\displaystyle \alpha \in F} 使得 F ∗ ∗ --> = { x ∈ ∈ --> F | x ≠ ≠ --> 0 } = ⟨ ⟨ --> α α --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle F^{*}=\{x\in F|x\neq 0\}=\langle \alpha \rangle }

有限域是完美域，即它的任何代数扩张一定是可分扩张

有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张，并且对应的伽罗瓦群是循环群。

一些小型的有限域

F 2 :

F 3 :

F 4 :

参考文献

《近世代数》

参见

域论

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