定义

设{xn},xn∈ ∈ -->R,n=1,2,… … -->,x0∈ ∈ -->R{\displaystyle \{x_{n}\},x_{n}\in \mathrm {R} ,n=1,2,\ldots ,x_{0}\in \mathrm {R} }，

对于任意的正实数ϵ ϵ -->{\displaystyle \epsilon }，存在自然数N，使得当n>N时，有 |xn− − -->x0|{\displaystyle |x_{n}-x_{0}| ，

用符号来表示即 ∀ ∀ -->ϵ ϵ -->>0,∃ ∃ -->N∈ ∈ -->N,∀ ∀ -->n>N,|xn− − -->x0|{\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,|x_{n}-x_{0}|

则称数列{xn}{\displaystyle \{x_{n}\}}收敛于x0{\displaystyle x_{0}}，记作limn→ → -->∞ ∞ -->xn=x0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}}。

收敛数列

其中一个判断数列是否收敛的定理，称为单调收敛定理，和实数完备性相关：单调有界数列必收敛，即是说，有上界的单调递增数列，或是有下界的单调递减数列，必然收敛。

数列极限的性质

定理1（唯一性）若数列{xn}{\displaystyle \left\{{x_{n}}\right\}}的极限存在，则极限是唯一的.

定理2（有界性）若数列{xn}{\displaystyle \left\{{x_{n}}\right\}}有极限，则{xn}{\displaystyle \left\{{x_{n}}\right\}}有界，即∃ ∃ -->M>0,∀ ∀ -->n∈ ∈ -->N{\displaystyle \exists M>0,\forall n\in {\rm {N}}}，有|xn|≤ ≤ -->M{\displaystyle \left|{x_{n}}\right|\leq M}.

但有界数列不一定有极限，如数列

1,0,1,0,⋯ ⋯ -->1− − -->(− − -->1)n2,⋯ ⋯ -->{\displaystyle 1,0,1,0,\cdots {\frac {1-{{\left({-1}\right)}^{n}}}{2}},\cdots }

有界，但无极限.

如数列无界，则数列发散.

定理3（保序性）若limn→ → -->∞ ∞ -->xn=a{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}，limn→ → -->∞ ∞ -->yn=b{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}，且a>b{\displaystyle a>b}，则∃ ∃ -->N∈ ∈ -->N{\displaystyle \exists N\in {\rm {N}}}，∀ ∀ -->n∈ ∈ -->N{\displaystyle \forall n\in N}，有xn>yn{\displaystyle {x_{n}}>{y_{n}}}.

数列的四则运算

设limn→ → -->∞ ∞ -->xn=a{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}，limn→ → -->∞ ∞ -->yn=b{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}，则

（1）limn→ → -->∞ ∞ -->(xn± ± -->yn)=limn→ → -->∞ ∞ -->xn± ± -->limn→ → -->∞ ∞ -->yn{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\pm \lim _{n\to \infty }{y_{n}}}；

（2）limn→ → -->∞ ∞ -->xn⋅ ⋅ -->yn=limn→ → -->∞ ∞ -->xn⋅ ⋅ -->limn→ → -->∞ ∞ -->yn{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot \lim _{n\to \infty }{y_{n}}}；

（3）若b≠ ≠ -->0,yn≠ ≠ -->0{\displaystyle b\neq 0,{y_{n}}\neq 0},则limn→ → -->∞ ∞ -->xnyn=limn→ → -->∞ ∞ -->xnlimn→ → -->∞ ∞ -->yn{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }{x_{n}}}{\lim _{n\to \infty }{y_{n}}}}}.

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