一般性

设 ( a 1 , b 1 ) 和 ( a 2 , b 2 ) 是两个有序对。则有序对的特征或定义性质为：

有序对可以有其他有序对作为投影。所以有序对使得能够递归定义有序n -元组（ n 项的列表）。例如，有序三元组 ( a,b,c ) 可以定义为( a , ( b,c ))，一个对嵌入了另一个对。这种方法也反映在计算机编程语言中，就是从嵌套的有序对构造元素的列表。例如，列表 (1 2 3 4 5) 变成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp 编程语言使用这种列表作为基本数据结构。

有序对的概念对于定义笛卡尔积和关系是至关重要的。

有序对的集合论定义

诺伯特·维纳在1914年提议了有序对的第一个集合论定义：

他注意到这个定义将允许《数学原理》中所有类型只透过集合便能表达。（在《数学原理》中，所有元数的关系都是原始概念。）

标准 Kuratowski 定义

在公理化集合论中，有序对 ( a , b ) 通常定义为库拉托夫斯基对：

陈述“ x 是有序对 p 的第一个元素”可以公式化为

而陈述“ x 是 p 的第二个元素”为

注意这个定义对于有序对 p = ( x , x ) = { { x }, { x , x } } = { { x }, { x } } = { { x } } 仍是有效的；在这种情况下陈述(∀ Y 1 ∈ p , ∀ Y 2 ∈ p : Y 1 ≠ Y 2 → ( x ∉ Y 1 ∨ x ∉ Y 2 ))显然是真的，因为不会有 Y 1 ≠ Y 2 的情况。

变体定义

上述有序对的定义是“充足”的，在它满足有序对必须有的特征性质（也就是：如果 ( a , b )=( x , y ) 则 a = x 且 b = y ）的意义上，但也是任意性的，因为有很多其他定义也是不更加复杂并且也是充足的。例如下列可能的定义

( a , b ) reverse := { { b }, { a , b } }

( a , b ) short := { a , { a , b } }

( a , b ) 01 := { {0, a }, {1, b } }

“逆”（reverse）对基本不使用，因为它比通用的 Kuratowski 对没有明显的优点（或缺点）。“短”（short）对有一个缺点，它的特征性质的证明会比 Kuratowski 对的证明更加复杂（要使用正规公理）；此外，因为在集合论中数 2 有时定义为集合 { 0, 1 } = { {}, {0} }，这将意味着 2 是对 (0,0) short 。

证明有序对的特征性质

Kuratowski 对： 证明：( a,b ) K = ( c,d ) K 当且仅当 a = c 且 b = d 。

仅当：

当：

逆 对： ( a,b ) reverse = {{ b },{ a,b }} = {{ b },{ b,a }} = ( b,a ) K 。

Quine-Rosser 定义

Rosser（1953年） 扩展了蒯因的有序对定义。Quine-Rosser 的定义要求自然数的先决定义。设 N {\displaystyle \mathbb {N} } 是自然数的集合， x ∖ ∖ --> N {\displaystyle x\setminus \mathbb {N} } 是 N {\displaystyle \mathbb {N} } 在 x {\displaystyle x} 内的相对差集，并定义：

φ( x ) 包含在 x 中所有自然数的后继，和 x 中的所有非数成员。特别是，φ( x ) 不包含数 0，所以对于任何集合 A 和 B ， ϕ ϕ --> ( A ) ≠ { 0 } ∪ ∪ --> ϕ ϕ --> ( B ) {\displaystyle \phi (A)\not =\{0\}\cup \phi (B)} 。

以下是有序对 ( A , B ) 的定义：

提取这个对中那些不包含 0 的所有元素，然后再还原 φ φ --> {\displaystyle \varphi } 的作用，就得出了 A 。类似的， B 可以通过提取这个对的包含 0 的所有元素来复原。

有序对的这个定义有个显著的优点。在类型论和从类型论派生出的集合论如新基础中，这个对与它的投影有相同的类型（所以术语叫做“类型齐平”有序对）。因此一个函数（定义为有序对的集合），有只比序对的投影的类型高 1 的类型。对蒯因集合论中有序对的广泛的讨论请参见 Holmes (1998)。

Morse 定义

Morse（1965 年） 提出的 Morse-Kelley 集合论可以自由的使用真类。Morse 定义有序对的方法，使得它的投影可以是真类或者集合。（Kuratowski 定义不允许这样）。它首先像Kuratowski 的方式那样，定义投影为集合的有序对。接着，他 重定义 对 ( x , y ) 为

这里的笛卡尔积是指由 Kuratowski 对组成的集合并且

这便允许了定义以真类为投影的有序对。

参见

笛卡儿积

二元关系

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。