格林第一恒等式

设定向量场F=ψ ψ -->∇ ∇ -->ϕ ϕ -->{\displaystyle \mathbf {F} =\psi \nabla \phi }；其中，在R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}的某区域U{\displaystyle \mathbb {U} }内，ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi }是二次连续可微标量函数，ψ ψ -->{\displaystyle \psi }是一次连续可微标量函数，则从散度定理，

可以推导出格林第一恒等式：

其中，∂ ∂ -->U{\displaystyle \partial \mathbb {U} }是区域U{\displaystyle \mathbb {U} }的边界，∂ ∂ -->∂ ∂ -->n{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}}是取于边界面∂ ∂ -->U{\displaystyle \partial \mathbb {U} }的法向导数，即∂ ∂ -->ϕ ϕ -->∂ ∂ -->n=∇ ∇ -->ϕ ϕ -->⋅ ⋅ -->n{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial n}}=\nabla \phi \cdot \mathbf {n} }。

格林第二恒等式

假若在区域U{\displaystyle \mathbb {U} }内，ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi }和ψ ψ -->{\displaystyle \psi }都是二次连续可微，则可交换ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi }与ψ ψ -->{\displaystyle \psi }，从(ψ ψ -->,ϕ ϕ -->){\displaystyle (\psi ,\phi )}的格林第一恒等式得到(ϕ ϕ -->,ψ ψ -->){\displaystyle (\phi ,\psi )}的格林第一恒等式。将这两个恒等式相减，则可得到格林第二恒等式：

格林第三恒等式

假设函数G{\displaystyle G}是拉普拉斯方程式的基本解（fundamental solution）：

其中，δ δ -->(x− − -->x′){\displaystyle \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ")}是狄拉克δ函数。

例如，在R，基本解的形式为

函数G{\displaystyle G}称为格林函数。对于变数x{\displaystyle \mathbf {x} }与x′{\displaystyle \mathbf {x} "}的交换，格林函数具有对称性，即G(x,x′)=G(x′,x){\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ")=G(\mathbf {x} ",\mathbf {x} )}。

设定ϕ ϕ -->=G{\displaystyle \phi =G}，在区域U{\displaystyle \mathbb {U} }内，ψ ψ -->{\displaystyle \psi }是二次连续可微。假若x{\displaystyle \mathbf {x} }在积分区域U{\displaystyle \mathbb {U} }内，则应用狄拉克δ函数的定义，

其中，dV′{\displaystyle dV"}、dS′{\displaystyle dS"}分别积分x′{\displaystyle \mathbf {x} "}于U{\displaystyle \mathbb {U} }

这是格林第三恒等式。假若ψ ψ -->{\displaystyle \psi调和函数和函数，即拉普拉斯方程式的解：

则这恒等式简化为

参阅

向量恒等式列表

数学恒等式列表 (List of mathematical identities)

向量微积分恒等式 (Vector calculus identities)

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