定义

此节给出投射模的两种等价定义。

自由模的直和项

投射模最直接的刻划是一个自由模的直和项；换言之，一个模 P {\displaystyle P} 是投射模，当且仅当存在另一个模 Q {\displaystyle Q} 使得 F := P ⊕ ⊕ --> Q {\displaystyle F:=P\oplus Q} 是自由模。此时 P {\displaystyle P} 是 F {\displaystyle F} 的一个投影态射的项。

提升性质

较容易操作也较符合范畴论思想的定义是利用提升性质。模 P {\displaystyle P} 是投射模，当且仅当对任何模满射 f : N ↠ ↠ --> M {\displaystyle f:N\twoheadrightarrow M} 及模态射 g : P → → --> M {\displaystyle g:P\rightarrow M} ，存在模态射 h : P → → --> N {\displaystyle h:P\rightarrow N} 使得 f ∘ ∘ --> h = g {\displaystyle f\circ h=g} （请留意：在此不要求唯一性）。用交换图表现则更明了：

此定义的优势在于它可以推广到阿贝尔范畴，从而引至投射对象的概念，在此并不需要考虑自由对象。反转箭头则得到对偶概念内射模。

另一种在探讨Ext函子时特别有用的表述如下：模 P {\displaystyle P} 是投射模，当且仅当任何正合序列

都诱导出正合序列

换言之， H o m ( P , − − --> ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (P,-)} 是正合函子；实则对任何模 M {\displaystyle M} ，函子 H o m ( M , − − --> ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (M,-)} 总是左正合的，而投射性相当于右正合性。由此立刻得到投射模的同调刻划： P {\displaystyle P} 是投射模当且仅当

向量丛与局部自由模

投射模理论的想法之一是向量丛的类比，对于紧豪斯多夫空间上的实值连续函数环，或紧光滑流形上的光滑函数，此类比有严格的表述，详阅条目Swan 定理。

向量丛是局部自由的；只要环上有合适的局部化概念，例如对环的一个积性子集局部化，则可以定义局部自由模。对于诺特环上的有限生成模，其投射性等价于局部自由性。对于非诺特环，则存有局部自由但非投射模的例子。

性质

投射模的直和与直和项仍是投射模。

若 e = e 2 ∈ ∈ --> R {\displaystyle e=e^{2}\in R} ，则 R e {\displaystyle Re} 是个投射左 R {\displaystyle R} -模。

投射模的子模不一定是投射模。使得所有投射左模的子模都是投射左模的环称作左继承的。

一个环上的全体有限生成投射模构成一个正合范畴（亦见代数K-理论）。

域或除环上的向量空间是自由模，因而是投射模。使所有模为投射模的环称为半单环。

将阿贝尔群视为 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模；则投射模对应于自由阿贝尔群。一般而言，此性质对主理想域也成立。

投射模皆为平坦模，反之不然，例如 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 是平坦 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模，但是非投射。

关于“局部自由＝投射”的想法，Kaplansky 证出如下定理：局部环上的投射模皆为自由模。有限生成投射模的情形容易证明，一般情形则较困难。

塞尔问题

Quillen-Suslin定理是另一个深入的结果：它断言若 R {\displaystyle R} 是域或主理想域，而 R [ X 1 , … … --> , X n ] {\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]} 是其上的多项式环，则任何投射 R {\displaystyle R} -模都是自由模。

此问题在域的情形由塞尔首先提出。Bass 解决了非有限生成模的情形，Quillen 与 Suslin 则同时而独立地处理有限生成模的情形。

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