可以用来裂项求和的数学式

1a(a+b)=1b(1a− − -->1a+b){\displaystyle {\frac {1}{a(a+b)}}={\frac {1}{b}}\left({\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a+b}}\right)}

ak=1a− − -->1(ak+1− − -->ak){\displaystyle a^{k}={\frac {1}{a-1}}(a^{k+1}-a^{k})}

coskx=12sinx2[sin(k+12)x− − -->sin(k− − -->12)x]{\displaystyle coskx={\frac {1}{2sin{\frac {x}{2}}}}\left[sin\left(k+{\frac {1}{2}}\right)x-sin\left(k-{\frac {1}{2}}\right)x\right]}

sinkx=12sinx2[cos(k− − -->12)x− − -->cos(k− − -->12)x]{\displaystyle sinkx={\frac {1}{2sin{\frac {x}{2}}}}\left[cos\left(k-{\frac {1}{2}}\right)x-cos\left(k-{\frac {1}{2}}\right)x三角恒等式t]}（三角恒等式）

Ckn=Ckn− − -->1+Ck− − -->1n− − -->1{\displaystyle C_{k}^{n}=C_{k}^{n-1}+C_{k-1帕斯卡n-1}}（帕斯卡法则）

1Ckn=n+1n+2(1Ckn+1+1Ck+1n+1){\displaystyle {\frac {1}{C_{k}^{n}}}={\frac {n+1}{n+2}}\left({\frac {1}{C_{k}^{n+1}}}+{\frac {1}{C_{k+1}^{n+1}}}\right)}

求和类型

一般求和

若有ak=bk− − -->bk+1{\displaystyle a_{k}=b_{k}-b_{k+1}}，则∑ ∑ -->k=mnak=bm− − -->bn+1{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}=b_{m}-b_{n+1}}

交错求和

若有ak=bk+bk+1{\displaystyle a_{k}=b_{k}+b_{k+1}}，则∑ ∑ -->k=mn(− − -->1)kak=(− − -->1)mbm+(− − -->1)n+1bn+1{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}(-1)^{k}a_{k}=(-1)^{m}b_{m}+(-1)^{n+1}b_{n+1}}

误用

这是错误的。将每项重组的方法只适用于独立的项趋近0。

防止这种错误，可以先求首N项的值，然后取N趋近无限的值。

例子：三角函数

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