定义

设 S 为一有二元运算* 的集合。若 e 为( S ,*)的单位元且 a * b = e ，则 a 称为 b 的 左逆元素 且 b 称为 a 的 元素 。若一元素 x 同时是 y 的左逆元素和元素时， x 称为 y 的 两面逆元素 或简称为 逆元素 。 S 内的一有两面逆元素的元素被称为在 S 内为 可逆的 。

正如 (S,*) 可以有数个左单位元或右单位元一般，一元素同时有数个左逆元素或元素也是有可能的。甚至有可能有数个左逆元素 和 元素。

若其运算 * 具有结合律，则当一元素有一左逆元素和一元素时，这两个会是相同且唯一的。在这一情形之下，可逆元的集合会是个群，称为 S 的可逆元群，且标记为 U ( S )或 S ∗ ∗ --> {\displaystyle S^{*}} 。

例子

每一实数 x 都会有一加法逆元（即加法上的逆元素）- x 。每一非零实数 x 都会有一倒数（即乘法上的逆元素） 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} 。此外，零没有倒数。

一元素在一体 K 内的方阵 M 为可逆的（在所有相同大小方阵的集合内，于矩阵乘法下）当且仅当其行列式不等于零。若 M 的行列式为零，它便不可能会有一单面逆元素，因此一单面逆元素必为两面逆元素。更多详情请参见逆矩阵。

更一般地，一元素在一可交换环 R 内的方阵是可逆的当且仅当其行列式在 R 是可逆的。

一函数 g 是一函数 f 的左（右）逆元素（在复合函数之下），当且仅当当 g ∘ ∘ --> f {\displaystyle g\circ f} （ f ∘ ∘ --> g {\displaystyle f\circ g} ）为 f 定义域（陪域）上的恒等函数。在这一例子里，一函数有元素而无左逆元素，或许相反，是很常见的。

另见

加法逆元

倒数

群

拟群

除环

可逆元

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