度量空间中的稠密集

在度量空间( E , d )中，也可以如下定义稠密集。当 X 的拓扑由一个度量给定时，在 X 中 A 的闭包 A ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {A}}} 是 A 与 A 中元素的所有数列极限（它的 极限点 ）的集合的并集，

那么当

A 在 X 中是稠密的。

注意 A ⊆ ⊆ --> { lim n a n : ∀ ∀ --> n ≥ ≥ --> 0 , a n ∈ ∈ --> A } {\displaystyle A\subseteq \{\lim _{n}a_{n}:\forall n\geq 0,\ a_{n}\in A\}} 。如果 { U n } {\displaystyle \{U_{n}\}} 是一个完备度量空间 X 中稠密开集上的序列，则 ∩ ∩ --> n = 1 ∞ ∞ --> U n {\displaystyle \cap _{n=1}^{\infty }U_{n}} 在 X 上依然稠密。这个事实与贝尔纲定理中的一个形式等价。

例子

每一拓扑空间是其自身的稠密集。

有理数域和无理数域是实数域中的稠密集（在通常拓扑意义下）。

度量空间 M {\displaystyle M} 是其完备集 γ γ --> M {\displaystyle \gamma M} 中的稠密集。

参见

可分空间存在可数稠密集的空间。

无处稠密集意如其文。

参考文献

Nicolas Bourbaki. General Topology, Chapters 1–4. Elements of Mathematics.Springer-Verlag. 1989 [1971]. ISBN 3-540-64241-2.

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York:Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3,MR507446

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