定义

一个范畴C包括：

一个由物件所构成的类ob(C)

物件间的态射所构成的类hom(C)。每一个态射f都会有唯一个“源物件”a和“目标物件”b，且 a和b都在ob(C)之内。因此写成f: a → b，且称f为由a至b的态射。所有由a至b的态射所构成的“态射类”，其标记为hom(a, b) （或 homC(a, b)）。

对任三个物件a、b和c，二元运算hom(a, b)×hom(b, c)→hom(a, c)称之为态射复合；f : a → b和g : b → c的复合写成g o f或gf。

此态射复合满足下列公理：

（结合律）若f : a → b、g : b → c且h : c → d，则h o(g o f)=(h o g)o f；

（单位元）对任一物件x，存在一态射1x : x → x，使得每一态射f : a → b，都会有1b o f = f = f o 1a。此一态射称为“x的单位态射”。

由上述公理，可证明对每一个物件均只确实地存在着单一个单位态射。一些作者会将每一个物件等同于其相对应的单位态射。

小范畴是一个ob(C)和hom(C)都是集合而不是真类的范畴。不是小范畴的范畴则称之为大范畴。局部小范畴是指对所有物件a和b，态射类hom(a,b)都会是集合（被称之为态射集合）的一个范畴。许多在数学中的重要范畴（如集合的范畴），即使不是小范畴，但也都至少会是局部小范畴。

例子

每一范畴都可由其物件、态射和态射复合来表示。

所有集合的范畴Set，其态射为集合间的函数，而态射复合则为一般的函数复合。（下列皆为具体范畴的例子，即在Set上加入一些结构，且要求态射为对应于此附加结构的函数，态射复合则为简单的一般函数复合。）

所有小范畴的范畴Cat，其态射为函子。

所有集合的范畴Rel，其态射为关系

任一预序集合(P, ≤)都会形成一个小范畴，其物件为P的元素，态射为由x至y若x ≤ y（而态射复合的公理则是必然满足的，因为由任一物件至另一物件间至多只存在一个态射）。

任一幺半群都会形成一个具单一个物件x的小范畴（此处的x是任一个固定的集合）。从x至x的态射恰好是幺半群的元素，且其态射复合由幺半群的运算所给定。幺半群令态射绝不可能为函数，唯一从单元素集合x至x的函数为当然函数。可视范畴为广义化了的幺半群；一些和幺半群有关的定义和定理也可能可以义广化成范畴的定义和定理。

任一有向图都会产生一个小范畴：其物件为图的顶点，态射为图中的路径，而态射复合则为路径的串接。这被称之为由图产生出的“自由范畴”。

若I是一个集合，“在I上的具体范畴”会是个小范畴，其物件为I的元素，而态射则只有单位态射。当然，其态射复合的公理是必然满足的。

任一范畴C皆可以另一种方式被视为是一个新的范畴：其物件和原范畴的一样，但态射则和原范畴相反。这被称之为对偶范畴，标记为C。

若C和D为范畴，可形成一“积范畴”C×D：其物件为由C和D内的物件所组成的对，且态射亦为由C和D内的态射所组成的对。这些对的态射复合是由各元素各自复合。

态射类型

一个态射f : a → b被称为

单态射，当且仅当fg1 = fg2则有g1 = g2对于所有的态射g1, g2 : x → a.

满态射，当且仅当g1f = g2f则有g1 = g2对于所有的态射g1, g2 : b → x.

双态射，当且仅当它既是单态射又是满态射

收缩（retraction），当且仅当它有，也就是说，如果存在一个态射g : b → a满足fg = 1b.这等价于分裂满态射。

截面（section），当且仅当它有左逆，也就是说，如果存在一个态射g : b → a满足gf = 1a.这等价于为分裂单态射。

同构，当且仅当它有逆，即如果存在态射g : b → a满足fg = 1b且gf = 1a.

同态，当且仅当a = b. a的同态的类表示为end(a)。

自同构，当且仅当f既是同态又是同构。a的自同构的类表示为aut(a)。

下述三个命题是等价的：

f是单态射且是收缩。

f是满态射且是截面。

f是同构。

态射之间的关系（例如fg = h）可以非常方便地表示为交换图表，其中物件表示为点，态射表示为箭头。

范畴类型

在许多范畴中，例如阿贝尔群范畴或向量空间范畴，态射集合hom(a, b)不仅是集合，而且还是阿贝尔群，并且态射的复合与这些阿贝尔群之间的群结构兼容，即复合映射是双线性的。这种范畴称为预可加范畴。如果在此基础上这个范畴还带有所有有限积和上积，那么我们称之为可加范畴。如果更进一步地，所有态射都有核和上核，并且每个满态射都是上核而每个单态射都是核，那么我们称之为阿贝尔范畴。阿贝尔范畴的典型例子是阿贝尔群的范畴。

范畴是完备的当其拥有所有极限。集合、阿贝尔群、拓扑空间的范畴都是完备的。

范畴是笛卡尔闭的当其拥有所有有限直积、且有限积上的态射总是可由任一因子上的态射确定。笛卡尔闭范畴包括Set和CPO，即完全偏序和斯科特连续函数组成的范畴。

拓扑斯是一种特定的笛卡尔闭范畴；所有数学内容都可以用拓扑斯的语言形式化（正如所有经典数学都可以用集合范畴的语言形式化一般）。拓扑斯也可用于表示逻辑理论。

参考文献

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Jean-Pierre Marquis,"Category Theory"inStanford Encyclopedia of Philosophy, 2006

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