简介

对于数学函数的光滑性有很多种。最基本的要求可能就是函数要连续，更进一步的要求是导数（因为可微函数也是连续的），再强一些的概念是导数的连续性（这些函数称为C1{\displaystyle C^{1}} — 参看光滑函数）。可微函数在很多领域相当重要，特别是在微分方程中。在二十世纪，人们发现C1{\displaystyle C^{1}}函数空间不是研究微分方程的解的恰当的空间。

而索博列夫空间正是C1{\displaystyle C^{1}}空间的替代品，用于研究偏微分方程的解。

技术性讨论

我们从最简单情况下的索博列夫空间开始，也就是单位圆上的一维情况。在这个情况下，索博列夫空间Wk,p{\displaystyle W^{k,p}}定义为L的子集，使得f和它的直到k阶的导数有一个有限的L范数，对于某个给定的p ≥ 1。定义正确意义上的导数时必须小心。在这个一维问题中，假设f(k− − -->1){\displaystyle f^{(k-1)}}是几乎处处可微并且等于其勒贝格积分格积分（这可康托除康托函数这样的例子）就足够了。

按照这个定义，索博列夫空间有一个自然的范数,

赋予了范数∥ ∥ -->⋅ ⋅ -->∥ ∥ -->k,p{\displaystyle \|\cdot \|_{k,p}}的Wk,p{\displaystyle W^{k,p}}是一个完备空间。实际上只要取序列中的第一项和最后一项就可以了，也即，如下的范数

和上述范数等价。

例子

有些索博列夫空间有简单的表述。例如，在一维情况，W1,1{\displaystyle W^{1,1}}就是绝对连续函数空间，而W是李普希兹函数空间。还有，Wk,2{\displaystyle W^{k,2}}可以自然地用其傅立叶级数的术语定义，也就是

其中f^ ^ -->{\displaystyle {\widehat {f}}}是f的傅立叶级数。和前面一样，可以采用等价的范数

两个表达都可以从帕塞瓦尔定理以及微分等价于傅立叶系数乘以in这个事实导出。这个特殊情况很重要，因此有一个特别的符号，Hk{\displaystyle H^{k}}:

非整数k的索博列夫空间

为避免混淆，在讨论不是整数的k的时候，我们通常用s来取代它，也即Ws,p{\displaystyle W^{s,p}}或者Hs{\displaystyle H^{s}}。

p = 2的情形

p = 2的情形是最简单的情形，因为傅立叶表述可以直接推广。我们定义范数为

而索博列夫空间Hs{\displaystyle H^{s}}为具有有限范数的函数的空间。

分数阶微分

如果p不是2，就采取类似的方法。在这个情况下帕塞瓦尔定理不再成立，但是微分还是对应于在傅立叶域中的乘法，并且可以推广到非整数阶。因此，可以定义一个分数阶微分的算子其阶为s，如下所示

换句话说，取傅立叶变换，乘以(in)s{\displaystyle (in)^{s}}再取逆傅立叶变换（定义为傅立叶－乘法－逆傅立叶的算子称为乘子，这本身也是一个研究主题）。这使得我们可以定义s,p{\displaystyle s,p}的索博列夫范数如下

而且，跟平常一样，索博列夫空间是有有限索博列夫范数的函数的空间。

复插值

获取“分数索博列夫空间”的另一个办法是采用复插值。复插值是一个通用的技术：对于任何0 ≤ t ≤ 1 和巴拿赫空间X及Y，且这二者都包含于某个更大的巴拿赫空间中，我们可以创建“过渡空间”，记为[X,Y]t。（后面将会讨论到一个不同的方法，所谓的实插值方法，它对于迹的分类的索博列夫理论有重要的意义）。

这样的空间X和Y称为插值对。

下面提一些关于复插值的有用的定理：

定理 (插值): [ [X,Y]a , [X,Y]b ]c = [X,Y]cb+(1-c)a.

定理 (算子的插值): 若{X,Y}和{A,B}是插值对，并且若T是一个线性映射，定义与X+Y到A+B中，使得T在X到A和Y到B上连续，则T从[X,Y]t到[A,B]t上连续。并且有如下的插值不等式：

||T||[X,Y]t→ → -->[A,B]t≤ ≤ -->C||T||X→ → -->A1− − -->t||T||Y→ → -->Bt.{\displaystyle ||T||_{[X,Y]_{t}\to [A,B]_{t}}\leq C||T||_{X\to A}^{1-t}||T||_{Y\to B}^{t}.}

参看: Riesz-Thorin定理。

回到索博列夫空间上来，我们要通过对几个Wk,p{\displaystyle W^{k,p}}的插值得到非整数s的Ws,p{\displaystyle W^{s,p}}。第一件事当然是看看这个可以给出一致的结果，而我们确实有

定理: [W0,p,Wm,p]t=Wn,p{\displaystyle \left[W^{0,p},W^{m,p}\right]_{t}=W^{n,p}}，如果n是一个整数使得n=tm。

因此，复插值是一个得到一个空间Wk,p{\displaystyle W^{k,p}}之间的空间Ws,p{\displaystyle W^{s,p}}的一个连续统的一致的方法。而且，它给出了和分数阶微分同样的空间（但参看延拓算子中的一个变化）。

多维情况

现在考虑在R及其子集上的索博列夫空间。从圆到线的变化只涉及傅立叶公式的技术细节 — 基本上就是将傅立叶级数变为傅立叶变换，将求和变为积分。到多维情况的转换有更大的难度，从定义就开始变化。f(k− − -->1){\displaystyle f^{(k-1)}}是f(k){\displaystyle f^{(k)}}的积分这个条件无法一般化，而最简单的解决办法是考虑分布理论意义下的导数。

由此可以得到一个形式化的定义。令D为R中开集。定义索博列夫空间

为定义于D上的函数f的族，使得对于满足下式的每个多重索引α α -->{\displaystyle \alpha }

f(α α -->){\displaystyle f^{(\alpha )}}是一个函数，且

在它上面的一个合适的范数是所有这样的α上的那些L范数的和。它是完备的，因此是一个巴拿赫空间。

实际上，这个方法在一维也成立，并且和前面分数阶微分中所述并无多大区别。

例子

在多维情况，有些结果不再成立，例如，W1,1{\displaystyle W^{1,1}}只包含连续函数。例如，1/|x|属于W1,1(B3){\displaystyle W^{1,1}(B^{3})}，其中B3{\displaystyle B^{3}}是三维的单位球。对于足够大的k，Wk,p(D){\displaystyle W^{k,p}(D)}将只包含连续函数，但是对于哪个k才够取决于p以及维数这二者。

但是，W和Wk,2{\displaystyle W^{k,2}}的表述在做了必要的修改之后还是成立的。

索博列夫嵌入

索博列夫空间Wk,p(Rn){\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}是Lp(Rn){\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}的子集。一个很自然的问题是:有没有其它的Lp空间包含Wk,p(Rn){\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}？索博列夫嵌入定理给出一个简单的表达（参看）:

定理:令k,n∈ ∈ -->Z>0{\displaystyle k,n\in \mathbb {Z} _{>0}}且1≤ ≤ -->p≤ ≤ -->∞ ∞ -->{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }。则如下命题成立:

若1p>kn{\displaystyle {\frac {1}{p}}>{\frac {k}{n}}}则Wk,p(Rn)⊆ ⊆ -->L11p− − -->kn(Rn){\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})\subseteq L^{\frac {1}{{\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}}}(\mathbb {R} ^{n})}（作为集合）。而且，包含关系是一个有界算子。

若1p=kn{\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {k}{n}}} 则所有有紧支撑的函数f∈ ∈ -->Wk,p(Rn){\displaystyle f\in W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}是Lq(Rn){\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}的元素，其中q{\displaystyle q 。

迹

令s > ½。若X为开集，边界其边界G"足够光滑"，则我们可以定义映射P的迹（也即，限制)如下

也即，u限制到边界G上。一个可能的光滑条件是一致Cm{\displaystyle C^{m}}， m ≥ s。 （但是注意，这个矩阵迹没有关系。）

这个迹映射P其定义域为Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)}，而其像正好是Hs− − -->1/2(G){\displaystyle H^{s-1/2}(G)}。如果要完全形式化，P首先定义在无穷可微函数上，并且通过连续性扩展到整个Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)}。注意取迹"失去了半个导数"。

确定Ws,p{\displaystyle W^{s,p}}的迹映射的像要困难很多，需要使用实插值这个工具，在此不具体讨论。其最后的结果是Besov空间。事实上，在Ws,p{\displaystyle W^{s,p}}空间的情形，我们不是失去半个导数，我们失去了1/p个导数。

延拓算子

若X是开域，其边界不是太不良（例如，如果其边界为流形，或者满足更宽松但更奇特的“锥条件”）则存在一个算子A将X的函数到R的函数，使得：

Au(x) = u(x) 对于几乎所有X中的x以及

A连续，从Wk,p(X){\displaystyle W^{k,p}(X)}到Wk,p(Rn){\displaystyle W^{k,p}({\mathbb {R} }^{n})}，对于任何1 ≤ p ≤ ∞ 以及整数k。

我们称算子A为X的延拓算子。

延拓算子是最自然的定义非整数s的Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)}方法（我们不能直接在X进行，因为取傅立叶变化是一个整体操作）。我们定义Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)}为：u属于Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)}当且仅当Au属于Hs(Rn){\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})}。等价的有，复插值产生同样的Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)}空间只要X存在一个延拓算子。如果X没有一个延拓算子，复插值是唯一取得Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)}空间的办法。

因此，插值不等式仍然成立。

用零延拓

我们定义H0s(X){\displaystyle H_{0}^{s}(X)}为无穷可微紧支撑函数的空间Cc∞ ∞ -->(X){\displaystyle C_{c}^{\infty }(X)}在Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)闭包的闭包。给定一个迹的定义如上，我们可以给出如下命题

定理：令X为一致C正规空间，m ≥ s并令P为线性映射，将Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)}中的u映射到

其中d/dn是垂直于G的导数，而k是最大的小于s的整数。则H0s{\displaystyle H_{0}^{s}}正好是P的核。

若u∈ ∈ -->H0s(X){\displaystyle u\in H_{0}^{s}(X)}，我们可以一种自然的方式定义它的零延拓u~ ~ -->∈ ∈ -->L2(Rn){\displaystyle {\tilde {u}}\in L^{2}({\mathbb {R} }^{n})}，也就是

定理：令s>½。将u变为u~ ~ -->{\displaystyle {\tilde {u}}}的映射是到Hs(Rn){\displaystyle H^{s}({\mathbb {R} }^{n})}中的连续映射，当且仅当s不是形为n+½（对于某个整数n）。

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