梯度的解释

假设有一个房间，房间内所有点的温度由一个标量场ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi }给出的，即点(x,y,z){\displaystyle (x,y,z)}的温度是ϕ ϕ -->(x,y,z){\displaystyle \phi (x,y,z)}。假设温度不随时间改变。然后，在房间的每一点，该点的梯度将显示变热最快的方向。梯度的大小将表示在该速度上变热的速度。

考虑一座高度在(x,y){\displaystyle (x,y)}点是H(x,y){\displaystyle H(x,y)}的山。H{\displaystyle H}这一点的梯度是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向。梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。

梯度也可以告诉我们一个数量在不是最快变化方向的其他方向的变化速度。再次考虑山坡的例子。可以有条直接上山的路其坡度是最大的，则其坡度是梯度的大小。也可以有一条和上坡方向成一个角度的路，例如投影在水平面上是60°角。则，若最陡的坡度是40%，这条路的坡度小一点，是20%，也就是40%乘以60°的余弦。

这个现象可以如下数学的表示。山的高度函数H{\displaystyle H}的梯度点积一个单位向量给出了表面在该向量的方向上的斜率。这称为方向导数。

形式化定义

一个标量函数φ φ -->{\displaystyle \varphi }的梯度记为：

其中∇ ∇ -->{\displaystyle \nabla }（nabla）表微分算子分算子。

∇ ∇ -->φ φ -->{\displaystyle \nabla \varphi }在三维直角坐标中表示为

（参看偏导数和向量。）

虽然使用坐标表达，但结果是在正交变换下不变，从几何的观点来看，这是应该的。

范例

函数φ φ -->=2x+3y2− − -->sin⁡ ⁡ -->(z){\displaystyle \varphi =2x+3y^{2}-\sin(z)}的梯度为：

实标量函数的梯度

相对于n×1向量x的梯度算子记作∇ ∇ -->x{\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {x}}}，定义为

对向量的梯度

以n×1实向量x为变元的实标量函数f(x)相对于x的梯度为一n×1列向量x，定义为

m维行向量函数f(x)=[f1(x),f2(x),⋯ ⋯ -->,fm(x)]{\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=[f_{1}({\boldsymbol {x}}),f_{2}({\boldsymbol {x}}),\cdots ,f_{m}({\boldsymbol {x}})]}相对于n维实向量x的梯度为一n×m矩阵，定义为

对矩阵的梯度

实标量函数f(A){\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {A}})}相对于m×n实矩阵A的梯度为一m×n矩阵，简称梯度矩阵，定义为

法则

以下法则适用于实标量函数对向量的梯度以及对矩阵的梯度。

线性法则：若f(A){\displaystyle f({\boldsymbol {A}})}和g(A){\displaystyle g({\boldsymbol {A}})}分别是矩阵A的实标量函数，c1和c2为实常数，则

乘积法则：若f(A){\displaystyle f({\boldsymbol {A}})}，g(A){\displaystyle g({\boldsymbol {A}})}和h(A){\displaystyle h({\boldsymbol {A}})}分别是矩阵A的实标量函数，则

商法则：若g(A)≠ ≠ -->0{\displaystyle g({\boldsymbol {A}})\neq 0}，则

链式法则：若A为m×n矩阵，且y=f(A){\displaystyle y=f({\boldsymbol {A}})}和g(y){\displaystyle g(y)}分别是以矩阵A和标量y为变元的实标量函数，则

流形上的梯度

一个黎曼流形M{\displaystyle M}上的对于任意可微函数f{\displaystyle f}的梯度∇ ∇ -->f{\displaystyle \nabla f}向量场向量场，使得对于每个向量 ξ ξ -->{\displaystyle \xi }，

其中⟨ ⟨ -->⋅ ⋅ -->,⋅ ⋅ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }代表M{\displaystyle M}上的内积（度量）而 ξ ξ -->f(p),p∈ ∈ -->M{\displaystyle \xi f(p),p\in M}是f{\displaystyle f}在点p{\displaystyle p}，方向为ξ ξ -->(p){\displaystyle \xi (p)}的方向导数。换句话说，如果φ φ -->:U⊆ ⊆ -->M↦ ↦ -->Rn{\displaystyle \varphi :U\subseteq M\mapsto \mathbb {R} ^{n}}为p{\displaystyle p}附近的局部坐标，在此坐标下有ξ ξ -->(x)=∑ ∑ -->jaj(x)∂ ∂ -->∂ ∂ -->xj{\displaystyle \xi (x)=\sum _{j}a_{j}(x){\frac {\partial }{\partial x_{j}}}},则ξ ξ -->f(p){\displaystyle \xi f(p)}将成为：

函数的梯度和外微分相关，因为ξ ξ -->f=df(ξ ξ -->){\displaystyle \xi f=df(\xi )}，实际上内积容许我们可以用一种标准的方式将1-形式df{\displaystyle df}和向量场∇ ∇ -->f{\displaystyle \nabla f}建立联系。由∇ ∇ -->f{\displaystyle \nabla f}的定义，df(ξ ξ -->)=⟨ ⟨ -->∇ ∇ -->f,ξ ξ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle df(\xi )=\langle \nabla f,\xi \rangle }，这样f{\displaystyle f}的梯度可以"等同"于0-形式的外微分df{\displaystyle df}，这里"等同"意味着：两集合{df}{\displaystyle \{df\}}和{∇ ∇ -->f}{\displaystyle \{\nabla f\}}之间有1对1的满射。

由定义可算流形上∇ ∇ -->f{\displaystyle \nabla f}的局部坐标表达式为：

请注意这是流形上对黎曼度量 ds2=∑ ∑ -->ijgijdxidxj{\displaystyle ds^{2}=\sum _{ij}g_{ij}dx^{i}dx^{j}}的公式，跟Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 里直角坐标的公式不同。常常我们写时会省略求和∑ ∑ -->{\displaystyle \sum }符号，不过为了避免混淆，在这里的公式还是加上去了。

柱坐标下的梯度（∇ ∇ -->{\displaystyle \nabla }）算符

∇ ∇ -->f(ρ ρ -->,θ θ -->,z)=∂ ∂ -->f∂ ∂ -->ρ ρ -->eρ ρ -->+1ρ ρ -->∂ ∂ -->f∂ ∂ -->θ θ -->eθ θ -->+∂ ∂ -->f∂ ∂ -->zez{\displaystyle \nabla f(\rho ,\theta ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}}

球坐标下的梯度（∇ ∇ -->{\displaystyle \nabla }）算符

∇ ∇ -->f(r,θ θ -->,ϕ ϕ -->)=∂ ∂ -->f∂ ∂ -->rer+1r∂ ∂ -->f∂ ∂ -->θ θ -->eθ θ -->+1rsin⁡ ⁡ -->θ θ -->∂ ∂ -->f∂ ∂ -->ϕ ϕ -->eϕ ϕ -->{\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\phi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }}

其中θ θ -->{\displaystyle \theta }为极角，ϕ ϕ -->{\displaystyle 方位角i }方位角。

参考

书籍

（中文）张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社. 2004年9月. ISBN 9787302092711. 

参看

雅可比矩阵

散度

旋度

偏导数

索贝尔算子

向量分析

离子梯度

梯度下降法

等位集合（Level set）

外微分

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