导言

集合代数是研究集合运算和集合关系的基本性质的学科。研究这些性质可以深入探究集合的本质，也有助于实际应用。

像普通算术的表达和计算一样，集合的表达和计算可能相当复杂。通过系统研究将有助于熟练使用和理解这些表达方式并进行计算。

在算术研究方面，是通过初等代数来研究算术的运算和关系的。

例如：加法和乘法运算遵循人们看时候带吃熟知的交换律、结合律和分配律；而"小于等于"关系满足自反性、反对称性和传递性。 这些规律提供了简化计算的工具，并描述了算术的本质、运算和关系。

集合代数相当于集合论中的算术代数。它是关于集合论运算如交集、并集、补集，和集合论关系如等于、包含等的代数：本文主要介绍这些内容。对集合的基本介绍请参见集合，更详尽的内容请参见朴素集合论。

集合上的基本结构

集合上通常自然定义的结构包括：

这些二元关系和二元运算构成了集合上的基本结构，包括序结构和代数结构。

代数结构

代数结构是关于运算的结构。以下是集合间运算的基本性质：

序结构

包含和真包含关系定义了集合间的一个偏序关系。在该偏序关系的意义下两者等价，通常不失一般性地将该偏序关系指为⊆。该偏序关系还有如下的结构：

集合上结构的最小定义

显然，上面的所有结果并不是独立的，大部分结果都可以从一个很小的结构推导出来。

比如很容易知道：

对称差可以用并和差来定义。

补可以用差来定义。

真包含关系可以用包含关系来定义。

包含关系可以用并，交，差之一来定义，这是因为A⊆B等价于以下任一命题：

因此我们完全可以用并，交，差三个运算以及它们的相关性质推导出上面所有二元运算和二元关系的性质。

当然这个“最小结构”的选择并不唯一，可以根据需要选择适当的方式。

下一个命题包含三种特殊集合：空集、全集、集合的补集，给出关于它们的两组规律。

命题 2：对全集 U 的任意子集A，下列恒等式成立：

同一性（结合交换律）说明，就像 0 和 1 分别是加法和乘法的单位元，Ø 和 U 也分别是并集和交集的单位元。

跟加法和乘法不同，并集和交集没有逆元。然而，补集律给出了类似逆运算的一元运算，集合的补集的基本性质。

上述五组性质：交换律、结合律、分配律、同一性和补集律，可以说包含了集合代数的所有内容，可以认为集合代数中所有正确的命题都是从它们得到的。

对偶性原理

上述命题有一个有趣的形式，就是每一组恒等式都是成对出现的。将 ∪ 和 ∩，或者 Ø 和 U 相互交换，一个恒等式就变成了相应的另一个。

这是集合代数的一个非常重要的性质，称作集合的对偶性原理。它对集合的所有真命题都有效。真命题通过相互交换 ∪ 和 ∩，Ø 和 U，改变包含符号的方向得到的对偶命题也是真的。若一个命题和其对偶命题相同，则称其为自对偶的。

更多关于并集和交集的定律

下列命题给出六条关于并集和交集的重要定律。

命题 3：对任意全集 U 的子集 A 和 B，下列恒等式成立：

如前所述，命题 3 里的每条定律都可以从命题 1 和命题 2 的五组基本定律推导出来。作为说明，下面给出并集的幂等律的证明。

证明：

下列证明说明，上述证明的对偶是对并集的幂等律的对偶，即交集的幂等律的证明。

证明：

更多关于补集的定律

下列命题给出五条关于补集的重要定律。

命题 4：设 A 和 B 为全集 U 的子集，则：

注意，重补集律是自对偶的。

下一个命题也是自对偶的，说明集合的补集是唯一满足补集律的集合。也就是说，互补的特征通过补集律体现。

命题 5：设 A 和 B 为全集 U 的子集，则：

包含的代数

下列命题说明包含是种偏序关系。

命题 6：若 A，B，C 为集合，则下述成立：

下列命题说明对任意集合 S，S 的幂集按照包含来排列是个有界格；因此，结合上述的分配律和补集律，它是一个布尔代数。

命题 7：若 A，B，C 是集合 S 的子集，则下述成立：

下列命题说明，"A ⊆ B " 与各种采用并集、交集、补集的表示方法等价。

命题 8：对任意两个集合 A 和 B，下述等价：

上述命题说明，集合的包含关系可以采用并集运算或交集运算来表示，即包含关系在公理体系中是多余的。

相对补集的代数

下列命题给出一些关于相对补集或集合论差的恒等式。

命题 9：对任意全集 U 和 U 的子集 A，B，C，下列恒等式成立：

常用代数结构

半环

若集类S满足：

对交运算封闭：∀E，F∈S，则E∩F∈S；

∀E，F∈S，若E⊆F，则存在C0,C1,……,Cn∈S，使得E⊆C0⊆C1⊆……⊆Cn⊆F，且∀0≤i≤n，Ci-Ci-1∈S；（即E可以通过和S中一些集合的无交并得到F）。

则S构成一个半环。

格

若集类S满足：

空集属于S；

对交运算封闭：∀E，F∈S，则E∩F∈S；

对并运算封闭：∀E，F∈S，则E∪F∈S；

则S构成一个格。

环，代数

非空集类S，若：

S对集合的并和差运算封闭，即：∀E，F∈S ⇒ E∪F∈S，E-F∈S；

S对集合的交和对称差运算封闭，即：∀E，F∈S ⇒ E∩F∈S，E△F∈S；

S对集合的交，差以及无交并运算封闭。

当且仅当S满足以上几个条件中任何一个时，S构成一个环，此时S被称为一个集环。

若集环S还满足：

∃X∈S，使得∀E∈S，有E⊆X。（即S中的所有集合的全集X也在S中）

则S是X上的代数，称为X上的集代数。

从代数角度来看，集环（集代数）S以∩为乘法，△为加法；以空集为零元，并且由于乘法满足幂等律，∀E∈S，E∩E=E·E=E，因此S还是布尔环（布尔代数）。

设S为一非空集类，可以知道，必存在唯一的集环R，使得S⊆R，且∀集环R"使得S⊆R"有R⊆R"，则R称为包含S的最小集环或由S生成的集环。

σ环，σ代数

设S是集环（集代数），若S对可列并运算封闭，则称S为一个σ环（σ代数）。

参考

集合

朴素集合论

公理集合论

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