群

定义无穷远点0为椭圆曲线E上的一点。定义 + 运算子：取E上的两点P,Q，若两者相异，P + Q表示穿过P和Q的弦和椭圆曲线相交的第三点，再经x轴反射的镜像点；若两者是同一点，P+P=2P表示以P为切点和椭圆曲线相交的点再经x轴反射的镜像点。若P和Q的弦与y轴平行，P+Q=0（无限远点）。+定义了一个E上的交换群，这个群以0为单位元。

特别地，所有有理点组成了E的子群。

上面的群可以用代数方式定义。给定域K{\displaystyle K}（其中K{\displaystyle K}的特征值非2或者3）上的曲线E:y2=x3− − -->px− − -->q{\displaystyle E:y^{2}=x^{3}-px-q\,}，及非无穷远点P(xP,yP),Q(xQ,yQ)∈ ∈ -->E{\displaystyle P(x_{P},y_{P}),Q(x_{Q},y_{Q})\in E}。先假设xP≠ ≠ -->xQ{\displaystyle x_{P}\neq x_{Q}}，设s=yP− − -->yQxP− − -->xQ{\displaystyle s={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}}（因K{\displaystyle K}是域，s{\displaystyle s}有定义）。定义R=P+Q{\displaystyle R=P+Q\,}：

若xP=xQ{\displaystyle x_{P}=x_{Q}\,}：

若yP=− − -->yQ{\displaystyle y_{P}=-y_{Q}\,}，P+Q=0{\displaystyle P+Q=0\,}。

若yP=yQ{\displaystyle y_{P}=y_{Q}\,}，R=2P{\displaystyle R=2P\,}，其值为：

参考文献

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