定义

代数扩张的基础是代数元的概念。给定域扩张 L/K ， L 某个元素如果是一个以 K 中元素为系数的非零多项式的根，则称其为 K 上的 代数元 。如果 L 中所有元素都是 K 上的代数元，就称域扩张 L/K 为代数扩张。

次数

设有域扩张 L/K ， L 可以看作是 K 上的向量空间，将其维度称作这个扩张的 次数 ，记作[ L : K ]。有限次数的扩张（简称 有限扩张 ）都是代数扩张；反之，给定一个代数扩张 L/K ，则 L 里的任一元素都是 L/K 的某个有限子扩张 K ⊂ F ⊂ L 。但代数扩张本身并不一定是有限扩张一个代数扩张可表作有限子扩张的归纳极限。

代数扩张与多项式的根

在一个代数扩张 L/K 中， L 中的每个元素 α 都是某个以 K 中元素为系数的多项式（以下简称 K- 多项式，所有 K- 多项式的集合记作 K [ X ] ） f 的根。所有以 α 为根的 K- 多项式中次数最低者称作 α 的 极小多项式 （通常要求其为首一多项式，即最高次项系数等于一，以保证唯一性）。极小多项式总是不可约多项式。

若 K- 多项式 f 不可约，则商环 L := K [ X ] / ( f ) 是 K 的一个域扩张，它的次数 [ L : K ] = deg( f ) ，而且不定元 X 在商环中的像是在 f 的一个在 L 中的根，其极小多项式正是 f 。通过这种构造，我们可抽象地加入某个多项式的根。例如 R [ X ] / ( X 2 + 1 ) {\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)} 就是在实数域中添加了虚数单位 i 得到的扩域：复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 。

给定域扩张 L/K ，如果 K- 多项式 f 可以在 L 中分解成一次因子的积，则称 f 在 L 中 分裂 。根据上述构造，总是可以找到一个足够大的代数扩张 K"/K 使得 f 分裂； K" 里满足此性质的“最小”子扩张称作 f 在 K 上的 分裂域 。 f 在 K 上的任两个分裂域至多差一个 K 上的同构（即：一个限制在 K 上的部分为恒等映射的环同构）。

正规扩张

正规扩张是研究多项式的根时所用到的概念。一个代数扩张 L/K 被称作 正规扩张 ，当且仅当它满足下述三个等价条件之一：

固定代数闭包 K ，任何 K 上的（即在 K 上是恒等映射的）域嵌入 σ : L → K ，都有 σ ( L ) = L 。

存在一族在 L 上分裂的多项式 ( f i ) i ∈ ∈ --> I ⊂ ⊂ --> K [ X ] {\displaystyle (f_{i})_{i\in I}\subset K[X]} ，使得 L/K 是在 K 中添加它们的根生成的域扩张。

K [ X ] 中任何不可约多项式若在 L 里有根，则在 L 里分裂（全部的根都在 L 里面）。

正规扩张可以看作是域扩张语言中对多项式的刻画。一个正规扩张对应着 K [ X ] 里的一个多项式。

例子

x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1\,} 在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的分裂域是 C {\displaystyle \mathbb {C} } 。

x 3 + 2 {\displaystyle x^{3}+2\,} 在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的分裂域是 Q ( e 2 3 π π --> i , 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (e^{{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}},{\sqrt[{3}]{2}})} 。

( x 2 − − --> 2 ) ( x 2 − − --> 3 ) {\displaystyle (x^{2}-2)(x^{2}-3)\,} 在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的分裂域是 Q ( 2 , 3 ) = Q ( 2 + 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})} 。

Q ( 2 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} } 是正规域扩张， Q ( 2 3 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})/\mathbb {Q} } 却不是，因为后者并没有包括 x 3 − − --> 2 {\displaystyle x^{3}-2\,} 的所有根，欠了 2 3 e 2 3 π π --> i , 2 3 e − − --> 2 3 π π --> i {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}e^{{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}},{\sqrt[{3}]{2}}e^{-{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}}} 。

可分扩张

设 L/K 为代数扩张，如果 α 的极小多项式没有重根，则称 α 可分 （重根的存在性与域扩张的选取无关，可分性等价于 ( f , f" ) = 1，这可以直接在 K 中计算）。所有可分元素形成一个中间域 K ⊂ F ⊂ L ， [ L : K ] s := [ L s : K ] 称作 L/K 的 可分次数 。若 L s = ; L ，则称 L/K 是 可分扩张 。

当 L/K 是有限扩张时，定义 不可分次数 [ L : K ] i := [ L : K ] / [ L : K ] s 。当基域的特征为零时，任何代数扩张都是可分的；任何有限域的扩张也都是可分的。

参考文献

Serge Lang, Algebra (2002), Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X

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