举例

最小的51个平方数为（OEIS中的数列A000290）：

0 =0

1 =1 2 =4 3 =9 4 =16 5 =25 6 =36 7 =49 8 =64 9 =81 10 =100

11 =121 12 =144 13 =169 14 =196 15 =225 16 =256 17 =289 18 =324 19 = 361 20 =400

21 = 441 22 = 484 23 = 529 24 =576 25 = 625 26 = 676 27 = 729 28 = 784 29 = 841 30 =900

31 = 961 32 =1024 33 =1089 34 = 1156 35 = 1225 36 = 1296 37 = 1369 38 = 1444 39 = 1521 40 = 1600

41 = 1681 42 = 1764 43 = 1849 44 = 1936 45 = 2025 46 = 2116 47 = 2209 48 = 2304 49 = 2401 50 = 2500

表达式

一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形的点阵，使得每行每列的点都一样多。

通项公式

对于一个整数 n ，它的平方写成 n 。 n 等于头 n 个正奇数的和（ n 2 = ∑ ∑ --> k = 1 n ( 2 k − − --> 1 ) {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)} ）。在上图中，从1开始，第 n 个平方数表示为前一个平方数加上第 n 个正奇数，如 5 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 16 + 9。即第五个平方数25等于第四个平方数16加上第五个正奇数：9。

递归公式

每个平方数可以从之前的两个平方数计算得到，递推公式为 n 2 = 2 ( n − − --> 1 ) 2 − − --> ( n − − --> 2 ) 2 + 2 {\displaystyle n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2} 。例如，2×5 − 4 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6 。

连续整数的和

平方数还可以表示成 n = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n 。例如，4 = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以将其解释为在边长为 3 的矩形上添加宽度为 1 的一行和一列，即得到边长为 4 的矩形。这对于计算较大的数的平方数非常有用。例如， 52 = 50 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

性质

一个平方数是两个相邻三角形数之和。两个相邻平方数之和为一个中心正方形数。所有的奇数平方数同时也是中心八边形数。

四平方和定理说明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的，三个平方数之和不能表示形如 4 (8 m + 7) 的数。若一个正整数可以表示因数中没有形如 4 k + 3 的素数的奇次方，则它可以表示成两个平方数之和。

在十进制中，平方数只能以 00，1，4，6，9 或 25 结尾：

若一个数以 0 结尾，它的平方数以 00 结尾，且其他数字也构成一个平方数

若一个数以 1 或 9 结尾，它的平方数以 1 结尾，且其他数字构成的数能被 4 整除

若一个数以 2 或 8 结尾，它的平方数以 4 结尾，且其他数字构成一个偶数

若一个数以 3 或 7 结尾，它的平方数以 9 结尾，且其他数字构成的数能被 4 整除

若一个数以 4 或 6 结尾，它的平方数以 6 结尾，且其他数字构成一个奇数

若一个数以 5 结尾，它的平方数以 25 结尾，且前面的一位或两位数字数字必定为 0，2，06，56 之一

每4个连续的自然数相乘加 1，必定会等于一个平方数，即 a ( a + 1)( a + 2)( a + 3) + 1 = ( a + 3 a + 1) 。

平方数必定不是完全数。

平方数必定是3的倍数或者3的倍数+1。

平方数必定是4的倍数或者4的倍数+1。

是否在相继正方形数之间存在一个素数这一命题，对9000000以内的数目是正确的。

除了000以外，平方数末3位数若相同，必为444：如38 =1444，462 =213444。

除了0000以外，平方数末4位数不可能相同。

参看

平方

立方数-平方数在立体的推广

三角形数

三角平方数-同时为三角形数和平方数的数

多边形数

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。