历史

这一稳定性以俄国数学家亚历山大·李亚普诺夫命名，他在1892年发表了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》，文中给出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论。李雅普诺夫考虑到针对非线性系统修改稳定理论，修正为以一个稳定点线性化的系统为基础的线性稳定理论。他的作品最初以俄文发行，后翻译为法文，但多年来默默无闻。人们对它的兴趣突然在冷战初期（1953至1962年）开始，因当所谓的“李雅普诺夫第二方法”被认为适用于航空航天制导系统的稳定性，而这系统通常包含很强的非线性，其他方法并不适用。大量的相关出版物自那时起开始出现，并进入控制系统文献中。最近李雅普诺夫指数的概念（与李雅普诺夫稳定性第一种方法）引起了广泛兴趣，并与混沌理论结合了起来。

连续时间系统下的定义

给定一个完备的赋范向量空间 E （例如 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ），设 U 是 E 的开子集。考虑一个自治的非线性动力系统：

其中 x ( t ) ∈ ∈ --> U {\displaystyle x(t)\in U} 是系统的状态向量， f : U → → --> E {\displaystyle f:U\rightarrow E} 是 连续函数上的连续函数。

假设函数 f 有一个零点： f ( a ) = 0，则常数函数： x = a 是动力系统的 驻定解 （或称 平衡解 ）。称 a 是动力系统的平衡点。

称点 a 李雅普诺夫稳定 （简称 稳定 ），如果对每个 ϵ ϵ --> > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，均存在 δ δ --> = δ δ --> ( ϵ ϵ --> ) > 0 {\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0} ，使得对所有满足 ∥ ∥ --> x 0 − − --> a ∥ ∥ --> {\displaystyle \|x_{0}-a\| 的 x 0 {\displaystyle x_{0}} ，只要 t ⩾ ⩾ --> t 0 {\displaystyle t\geqslant t_{0}} ，就有 ∥ ∥ --> x ( t ) − − --> a ∥ ∥ --> {\displaystyle \|x(t)-a\| 。

称点 a 渐近稳定 ，如果点 a 李雅普诺夫稳定，且存在 δ δ --> > 0 {\displaystyle \delta >0} ，使得对所有满足 ∥ ∥ --> x 0 − − --> a ∥ ∥ --> {\displaystyle \|x_{0}-a\| 的 x 0 {\displaystyle x_{0}} ， lim t → → --> ∞ ∞ --> x ( t ) = a {\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }x(t)=a} 。

称点 a 指数稳定 ，如果点 a 渐近稳定，且存在 α α --> , β β --> , δ δ --> > 0 {\displaystyle \alpha ,\beta ,\delta >0} 使得对所有满足 ∥ ∥ --> x 0 − − --> a ∥ ∥ --> {\displaystyle \|x_{0}-a\| 的 x 0 {\displaystyle x_{0}} ，只要 t ⩾ ⩾ --> t 0 {\displaystyle t\geqslant t_{0}} ，就有 ∥ ∥ --> x ( t ) − − --> a ∥ ∥ --> ≤ ≤ --> α α --> ∥ ∥ --> x 0 − − --> a ∥ ∥ --> e − − --> β β --> t {\displaystyle \|x(t)-a\|\leq \alpha \|x_{0}-a\|e^{-\beta t}} 。

它们的直观几何意义是：

平衡点为李雅普诺夫稳定的，表示若动力系统状态函数（微分方程的解函数）的初值“足够接近”平衡点，则它会永远维持在平衡点附近任意小的范围里（距平衡点的距离不超过任意选择的正实数 ϵ ϵ --> {\displaystyle \epsilon } ）。

渐近稳定的意思是，初值足够接近平衡点的状态函数，不但维持在平衡点附近，而且最后会收敛到平衡点。

指数稳定的意思是，状态函数不但最后会收敛到平衡点，且收敛速度不慢于某种指数递减的速度。

设有状态函数 x ，其初始取值为 x ( t 0 ) = x 0 {\displaystyle x(t_{0})=x_{0}} 。称 x ¯ ¯ --> = { x ( t ) ; t ⩾ ⩾ --> t 0 } {\displaystyle {\bar {x}}=\{x(t);\;t\geqslant t_{0}\}} 为 x 的轨迹。如果对所有初始值与 x 足够接近的状态函数 y ，两者的轨迹会趋于相同：

则称 x 的轨迹有（局部）吸引性（attractive）。若上述条件对所有 y 均成立，则称 x 有全局吸引性（globally attractive）。

如果 x 的轨迹有吸引性，并且稳定，则 x 渐近稳定。不过， x 有吸引性不表示它的轨迹渐近稳定。

迭代系统下的定义

离散时间系统下稳定性的定义和连续时间系统下的定义几乎相同。以下为其定义，不过使用的是较多数学书籍上使用的定义。

给定度量空间 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 。设 f : : --> X → → --> X {\displaystyle f\colon X\to X} 为一连续函数。称点 a ∈ ∈ --> X {\displaystyle a\in X} 为 李雅普诺夫稳定 ，如果对任意 ϵ ϵ --> > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，都存在 δ δ --> > 0 {\displaystyle \delta >0} ，使得只要 x ∈ ∈ --> X {\displaystyle x\in X} 满足 d ( x , a ) {\displaystyle d(x,a) ，就有

称点 a 渐近稳定 ，如果 a 是李雅普诺夫稳定的点，而且在稳定点集合的内部，即存在 δ δ --> > 0 {\displaystyle \delta >0} ，使得只要 x ∈ ∈ --> X {\displaystyle x\in X} 满足 d ( x , a ) {\displaystyle d(x,a) ，就有

李雅普诺夫稳定性理论

对于微分方程解之稳定性的研究称为稳定性理论。而李雅普诺夫稳定性定理只提供了稳定性的充份条件。

李雅普诺夫稳定性第二定理

考虑一个函数 V(x) : R → R 使得

V ( x ) ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle V(x)\geq 0} 只有在 x = 0 {\displaystyle x=0} 处等号成立（正定函数）

V ˙ ˙ --> ( x ( t ) ) < 0 {\displaystyle {\dot {V}}(x(t))<0} （负定）

则 V(x) 称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov function candidate），且系统（依李雅普诺夫的观点）为 渐近稳定 。

上式中 V ( 0 ) = 0 {\displaystyle V(0)=0} 是必要的条件。否则， V ( x ) = 1 / ( 1 + | x | ) {\displaystyle V(x)=1/(1+|x|)} 可以用来“证明” x ˙ ˙ --> ( t ) = x {\displaystyle {\dot {x}}(t)=x} 有区域性稳定。另一个称为径向无界性（radial unboundedness）的条件则是用来得到全域渐近稳定的结果。

此种分析方式可类比为考虑一物理系统（如弹簧及质量的系统）及其中的能量。若系统能量随时间递减，且减少的能量不会恢复，而此系统最后一定会静止于某个特定的状态。最后的状态称为吸引子。不过针对一个物理系统，找到表达其精确能量的函数不一定容易，而且针对抽象数学系统、经济系统或生物系统，上述能量的概念又不一定适用。

利用李雅普诺夫的分析方式，可在不知道系统实际能量的情形下，证明系统的稳定性。不过前提是可以找到满足上述限制的李雅普诺夫函数。

例如考虑以下的系统

希望用李雅普诺夫函数来确认 x = 0 {\displaystyle x=0\,} 附近的稳定性。令

V ( x ) {\displaystyle V(x)} 本身为正定函数．而V(x)的导函数如下

为负定函数，因此上述系统在 x = 0 {\displaystyle x=0\,} 附近为渐近稳定。

线性系统状态空间模型的稳定性

一个线性的状态空间模型

为渐近稳定（其实是指数稳定），若

的解存在。

其中 N = N T > 0 {\displaystyle N=N^{T}>0} 且 M = M T > 0 {\displaystyle M=M^{T}>0} （正定矩阵）。（对应的李雅普诺夫函数为 V ( x ) = x T M x {\displaystyle V(x)=x^{T}Mx} ）

有输入值系统的稳定性

一个有输入（或受控制）的系统可以下式表示

其中输入 u(t) 可视为 控制 、 外部输入 、 扰动 、 刺激 或 外力 。这种系统的研究是控制理论研究的主题之一，也应用在控制工程中。

对于有输入的系统，需量化输入对系统稳定性的影响。在线性系统中会用BIBO稳定性来作分析的工具，在非线性系统中则会使用输入-状态稳定性。

参考资料

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