导引

假设，一个物理系统的量子态为 Φ Φ --> ( x , t ) {\displaystyle \Phi (x,\ t)} ，则算符 A {\displaystyle A} 的期望值对于时间的导数为

薛定谔方程表明哈密顿算符 H {\displaystyle H} 与时间 t {\displaystyle t} 的关系为

其共轭复数为

因为哈密顿算符是厄米算符， H ∗ ∗ --> = H {\displaystyle H^{*}=H} 。所以，

将这三个方程代入 d d t ⟨ ⟨ --> A ⟩ ⟩ --> {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle } 的方程，则可得到

所以，埃伦费斯特定理成立：

实例

使用埃伦费斯特定理，可以简易地证明，假若一个物理系统的哈密顿量显性地不含时间，则这系统是保守系统。

从埃伦费斯特定理，可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。特别而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道这些资料，就可以分析量子系统的运动行为。

保守的哈密顿量

思考哈密顿算符 H {\displaystyle H} ：

假若，哈密顿量显性地不含时间， ∂ ∂ --> H ∂ ∂ --> t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial t}}=0} ，则

哈密顿量是个常数 H 0 {\displaystyle H_{0}} 。

位置的期望值对于时间的导数

试想一个质量为 m {\displaystyle m} 的粒子，移动于一维空间．其哈密顿量是

其中， x {\displaystyle x} 为位置， p {\displaystyle p} 是动量， V {\displaystyle V} 是位势。

应用埃伦费斯特定理，

由于 x p p − − --> p p x = i 2 ℏ ℏ --> p {\displaystyle xpp-ppx=i2\hbar p} ，位置的期望值对于时间的导数等于速度的期望值：

这样，可以得到动量 p {\displaystyle p} 的期望值。

动量的期望值对于时间的导数

应用埃伦费斯特定理，

由于 p {\displaystyle p} 与自己互相交换，所以， [ p , p 2 ] = 0 {\displaystyle [p,\ p^{2}]=0} 。又在坐标空间里，动量算符 p = ℏ ℏ --> i ∂ ∂ --> ∂ ∂ --> x {\displaystyle p={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}} 不含时间： ∂ ∂ --> p ∂ ∂ --> t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=0} 。所以，

将泊松括号展开，

使用乘法定则，

在量子力学里，动量的期望值对于时间的导数，等于作用力 F {\displaystyle F} 的期望值。

经典极限

取经典极限 ， ⟨ ∂ ∂ --> V ( x ) ∂ ∂ --> x ⟩ ≈ ≈ --> ∂ ∂ --> V ( ⟨ ⟨ --> x ⟩ ⟩ --> ) ∂ ∂ --> ⟨ ⟨ --> x ⟩ ⟩ --> {\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}} ，则可得到一组完全的量子运动方程：

这组量子运动方程，精确地对应于经典力学的运动方程：

取“经典极限”，量子力学的定律约化为经典力学的定律。这结果也时常被称为 埃伦费斯特定理 。这经典极限是什么呢？标记 V ′ ( x ) {\displaystyle V\,"(x)} 为 ∂ ∂ --> V ( x ) ∂ ∂ --> x {\displaystyle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}} 。设定 ⟨ ⟨ --> x ⟩ ⟩ --> = x 0 {\displaystyle \langle x\rangl泰勒=x_{0}} 。泰勒展开 V ′ ( x ) {\displaystyle V\,"(x)} 于 x 0 {\displaystyle x_{0}} ：

由于 ⟨ ⟨ --> x − − --> x 0 ⟩ ⟩ --> = 0 {\displaystyle \langle x-x_{0}\rangle =0} ， ⟨ ⟨ --> ( x − − --> x 0 ) 2 ⟩ ⟩ --> = σ σ --> x 2 {\displaystyle \langle (x-x_{0})^{2}\rangle =\sigma _{x}^{2}} ，

这近似方程右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的，就可以取经典极限。而这误差项目的大小跟以下两个因素有关：

一个是量子态对于位置的不可确定性。

另一个则是位势随着位置而变化的快缓。

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