证明

设

函数g(z)在D{\displaystyle \mathbb {D} }内（除了0以外）全纯，由于f(0) = 0且f是全纯函数。设Dr为D内一个半径为r的闭圆盘。根据最大模原理，有：

对于所有Dr内的z和所有Dr的边界上的zr。当r趋于1时，我们便有|g(z)| ≤ 1。

而且，如果在D{\displaystyle \mathbb {D} }内存在某个不为0的z0，使得g(z0) = 1，那么把最大模原理应用于g，可得g是常数，因此f(z) = kz，其中k是常数且|k| = 1。这在当|f "(0)| = 1时也是正确的。

施瓦茨—皮克定理

施瓦茨引理有一个版本是在单位圆盘的解析自同构（即单位圆盘的全纯双射）下不变。这称为施瓦茨-皮克定理。

设f:D→ → -->D{\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {D} } 全纯。那么，对所有z1,z2∈ ∈ -->D{\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {D} }，

还有，对z∈ ∈ -->D{\displaystyle z\in \mathbb {D} }，

以下表达式

是庞加莱度量中两点z1,z2{\displaystyle z_{1},z_{2}}的距离。庞加莱度量就是二维双曲几何的庞加莱圆盘模型的度量。这定理的要点是把单位圆盘映射到自己的全纯函数减少各点间的庞加莱度量下的距离。若上两不等式有一式的等号成立，就是说全纯映射保持庞加莱度量下的距离，那么f一定是单位圆盘的解析自同构，由把圆盘映射到自己的莫比乌斯变换映射所给出。

一个对上半平面H{\displaystyle \mathbb {H} }的相似的命题可记如下：

设f:H→ → -->H{\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {H} }全纯。那么，对所有z1,z2∈ ∈ -->H{\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} }，

还有，对所有z∈ ∈ -->H{\displaystyle z\in \mathbb {H} }

若集中一式等号成立，那么f必是实系数的麦比乌斯转换，也就是说若等号成立则有

其中a,b,c,d{\displaystyle a,b,c,d}是实数，及ad− − -->bc>0{\displaystyle ad-bc>0}。

深入发展

施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理给出对双曲流形的类似结果。

路易·德布朗热定理是一个重要推广。

参考

Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3)

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