古典定义

设 Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma } 为作用于复区域 D{\displaystyle D} 的离散群。取定自守因子jγ γ -->(x),(γ γ -->∈ ∈ -->Γ Γ -->,x∈ ∈ -->D){\displaystyle j_{\gamma }(x),\;(\gamma \in \Gamma ,x\in D)} 及权m∈ ∈ -->N{\displaystyle m\in \mathbb {N} }。相应的权 m{\displaystyle m}自守形式是 D{\displaystyle D} 上满足下述函数方程的全纯函数

自守因子 jγ γ -->(x){\displaystyle j_{\gamma }(x)} 当 γ γ -->{\displaystyle \gamma } 固定时是 D{\displaystyle D} 上的全纯函数，并且是 Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma } 上的 1-闭上链。

定义中的复值函数 f{\displaystyle f} 可推广成取值为矩阵的函数；权 m{\displaystyle m} 的限制亦可放松，例如半整数 m∈ ∈ -->12+Z{\displaystyle m\in {\frac {1}{2}}+\mathbb {Z} }。

群上的定义

自守形式另有群表示理论的诠释，并牵涉数论，但无法完全涵摄古典定义。为简单起见，以下设 G=GL(n){\displaystyle G=\mathrm {GL} (n)}，其中心可等同于 Gm{\displaystyle \mathbb {G} _{m}}。

考虑整体域 F{\displaystyle F}（例如 F=Q{\displaystyle F=\mathbb {Q} }），由此定义 G{\displaystyle G} 的阿代尔点G(AF){\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}，赋予相应的拓扑结构，并取定标准的紧子群 K{\displaystyle K}。

固定一拟特征ω ω -->:F× × -->∖ ∖ -->AF× × -->→ → -->C× × -->{\displaystyle \omega :F^{\times }\backslash \mathbb {A} _{F}^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}。以 ω ω -->{\displaystyle \omega }为中心特征的自守形式定为 G(F)∖ ∖ -->G(AF){\displaystyle G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F})} 上满足下列条件的复值函数 f{\displaystyle f}：

f{\displaystyle f} 光滑：若 F{\displaystyle F} 为函数域，这代表 f{\displaystyle f} 是局部常数函数。否则意谓存在一组 G(AF){\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})} 的开覆盖U{\displaystyle {\mathcal {U}}}，对每个 h∈ ∈ -->U∈ ∈ -->U{\displaystyle h\in U\in {\mathcal {U}}}，f(h)=fU(h∞ ∞ -->){\displaystyle f(h)=f_{U}(h_{\infty })}，而 fU{\displaystyle f_{U}} 无穷可微。

f{\displaystyle f} 右 K{\displaystyle K}-有限：函数 f(⋅ ⋅ -->k)(k∈ ∈ -->K){\displaystyle f(\cdot k)\;(k\in K)} 张成有限维向量空间。

承上，设 Zv{\displaystyle {\mathcal {Z}}_{v}} 为泛包络代数U(gl(n,Fv)){\displaystyle U({\mathfrak {gl}}(n,F_{v}))} 之中心，则 f{\displaystyle f} 为 Zv{\displaystyle {\mathcal {Z}}_{v}}-有限。

缓增性：固定适当的高度函数 ∥ ∥ -->⋅ ⋅ -->∥ ∥ -->:G(AF)→ → -->R>0{\displaystyle \|\cdot \|:G(\mathbb {A} _{F})\to \mathbb {R} _{>0}}（取法不影响定义），存在常数 C{\displaystyle C} 及 N∈ ∈ -->N{\displaystyle N\in \mathbb {N} } 使得 |f(g)|≤ ≤ -->C∥ ∥ -->g∥ ∥ -->N{\displaystyle |f(g)|\leq C\|g\|^{N}}。

注记. 若 v{\displaystyle v} 是 F{\displaystyle F} 的阿基米德赋值，条件二中张出的空间在李代数gl(n,Fv){\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F_{v})} 的作用 f↦ ↦ -->Xf{\displaystyle f\mapsto Xf} 下不变。条件三蕴含自守形式对阿基米德赋值是解析函数。

若对所有 r+s=n(0<r,s<n){\displaystyle r+s=n\,(0 皆有

则称 f{\displaystyle f} 为尖点形式。

自守表示

定义 A(G(F)∖ ∖ -->G(AF),ω ω -->){\displaystyle {\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )} 为中心特征为 ω ω -->{\displaystyle \omega } 的自守形式集，子空间 A0(G(F)∖ ∖ -->G(AF),ω ω -->){\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )} 则为尖点形式集。

这两个空间是有限阿代尔群 G(Afin){\displaystyle G(\mathbb {A} _{\mathrm {fin} })} 的表示；对阿基米德赋值则带有 (g,K){\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}-模结构。此套结构可以概括为整体赫克代数HG(AF){\displaystyle {\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}} 的表示。注意：它们并非 G(A){\displaystyle G(\mathbb {A} )} 的表示！

一个自守表示是 HG(AF){\displaystyle {\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}}-模 A(G(F)∖ ∖ -->G(AF),ω ω -->){\displaystyle {\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )} 之子商，ω ω -->{\displaystyle \omega } 称作该自守表示的中心拟特征。尖点自守表示是 A0(G(F)∖ ∖ -->G(AF),ω ω -->){\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )} 之子空间。

文献

A.N. Parshin,Automorphic Form, (编) Hazewinkel, Michiel,数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7

Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations, (1998), Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55. ISBN 0-521-65818-7 .

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