定理

设(X, d)为非空的完备度量空间。设T : X → X为X上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数q X内的x和y，都有：

那么映射T在X内有且只有一个不动点x（这就是说，Tx = x）。更进一步，这个不动点可以用以下的方法来求出：从X内的任意一个元素x0开始，并定义一个迭代序列xn = Txn-1，对于n = 1，2，3，……。这个序列收敛，且极限为x。以下的不等式描述了收敛的速率：

等价地：

且

满足以上不等式的最小的q有时称为利普希茨常数。

注意对于所有不同的x和y都有d(Tx, Ty) < d(x, y)的要求，一般来说是不足以保证不动点的存在的，例如映射T : [1,∞) → [1,∞)，T(x) = x + 1/x，就没有不动点。但是，如果空间X是紧的，则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。

当实际应用这个定理时，最艰难的部分通常是恰当地定义X，使得T实际上把元素从X映射到X，也就是说，Tx总是X的一个元素。

证明

选择任何x0∈ ∈ -->(X,d){\displaystyle x_{0}\in (X,d)}。对于每一个n∈ ∈ -->{1,2,… … -->}{\displaystyle n\in \{1,2,\ldots \}}，定义xn=Txn− − -->1{\displaystyle x_{n}=Tx_{n-1}\,\!}。我们声称对于所有的n∈ ∈ -->{1,2,… … -->}{\displaystyle n\in \{1,2,\dots \}}，以下等式都成立：

我们用数学归纳法来证明。对于n=1{\displaystyle n=1\,\!}的情况，命题是成立的，这是因为：

假设命题对于某个k∈ ∈ -->{1,2,… … -->}{\displaystyle k\in \{1,2,\ldots \}}是成立的。那么，我们有：

从第三行到第四行，我们用到了归纳假设。根据数学归纳法原理，对于所有的n∈ ∈ -->{1,2,… … -->}{\displaystyle n\in \{1,2,\ldots \}}，以上的命题都成立。

设ϵ ϵ -->>0{\displaystyle \epsilon >0\,\!}。由于0≤ ≤ -->q<1{\displaystyle 0\leq q{1,2,… … -->}{\displaystyle N\in \{1,2,\ldots \}}，使得：

利用以上的命题，我们便有对于任何m{\displaystyle m\,\!}，n∈ ∈ -->{0,1,… … -->}{\displaystyle n\in \{0,1,\ldots \}}以及m>n≥ ≥ -->N{\displaystyle m>n\geq N}，都有：

第一行的不等式可以从三角不等式推出；第四行的级数是一个几何级数，其中0≤ ≤ -->q<1{\displaystyle 0\leq q0{\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 0}}是(X,d){\displaystyle (X,d)\,\!}内的一个柯西序列，所以根据完备性，它是收敛的。因此设x∗ ∗ -->=limn→ → -->∞ ∞ -->xn{\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}}。我们作出两个声明：第一，x∗ ∗ -->{\displaystyle x^{*}\,\!}是T{\displaystyle T\,\!}的一个不动点，也就是说，Tx∗ ∗ -->=x∗ ∗ -->{\displaystyle Tx^{*}=x^{*}\,\!}；第二，x∗ ∗ -->{\displaystyle x^{*}\,\!}是T{\displaystyle T\,\!}在(X,d){\displaystyle (X,d)\,\!}中的唯一的不动点。

为了证明第一个命题，我们注意到对于任何的n∈ ∈ -->{0,1,… … -->}{\displaystyle n\in \{0,1,\ldots \}}，都有：

由于当n→ → -->∞ ∞ -->{\displaystyle n\to \infty }时，qd(xn,x∗ ∗ -->)→ → -->0{\displaystyle qd(x_{n},x^{*})\to 0}，因此根据夹挤定理，可知limn→ → -->∞ ∞ -->d(xn+1,Tx∗ ∗ -->)=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(x_{n+1},Tx^{*})=0}。这表明当n→ → -->∞ ∞ -->{\displaystyle n\to \infty }时，xn→ → -->Tx∗ ∗ -->{\displaystyle x_{n}\to Tx^{*}}。但当n→ → -->∞ ∞ -->{\displaystyle n\to \infty }时，xn→ → -->x∗ ∗ -->{\displaystyle x_{n}\to x^{*}}，且极限是唯一的；因此，一定是x∗ ∗ -->=Tx∗ ∗ -->{\displaystyle x^{*}=Tx^{*}\,\!}的情况。

为了证明第二个命题，我们假设y{\displaystyle y\,\!}也满足Ty=y{\displaystyle Ty=y\,\!}。那么：

由于0≤ ≤ -->q<1{\displaystyle 0\leq q(1− − -->q)d(x∗ ∗ -->,y)≤ ≤ -->0{\displaystyle 0\leq (1-q)d(x^{*},y)\leq 0}，这表明d(x∗ ∗ -->,y)=0{\displaystyle d(x^{*},y)=0\,\!}，于是根据正定性，x∗ ∗ -->=y{\displaystyle x^{*}=y\,\!}，定理得证。

逆定理

巴拿赫不动点定理有许多逆定理，以下的一个是Czesław Bessaga在1959年发现的：

设f:X→ → -->X{\displaystyle f:X\rightarrow X}为一个抽象集合的映射，使得每一个迭代f都有一个唯一的不动点。设q为一个实数，0 < q < 1。那么存在X上的一个完备度量，使得f是压缩映射，且q是压缩常数。

推广

一个有趣的事实是，若把某国的地图缩小后印在该国领土内部，那么在地图上有且仅有这样一个点，它在地图中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。证明如下：

为了方便起见，这里把地球近似看作是正球体。

首先，按照经纬度可以给地球表面上每一个点标出坐标 (x, y)，其中前元是经度、后元是纬度。又定义地面上任意两点间的距离 d(A, B) 是 A 到 B 间大圆弧的弧长。

其次，把这国家的地图上的点按照其所代表点的实际经纬度标出坐标 (u, v)。

那么对于地图上任意一点 P 而言，它既在地图上表示地点 (up, vp)，又实际在地面上占有点 (xp, yp)。显然，这构成了从集合 S={P|P 是地面上的点且 P 属于该国领土} 到其本身的映射，现记作 M(P)=M((up, vp))=(xp, yp)。

又因为地图是缩小的，即对于任意两个地点 A∈S、B∈S 而言，d(A, B)>d(M(A), M(B))，也即 M(P) 是一个压缩映射。

事实上，取实数 k>1 作比例尺比例尺的分母、即 1:k，那么由比例尺的定义知 d(A, B)=kd(M(A), M(B))，两边同除以 k 得 d(A, B)*(1/k)=d(M(A), M(B))。换言之，存在实数 q=1/k<1 满足对于 S 内所有的 A 和 B，d(M(A), M(B))≤qd(A, B)，这里等号总是成立。

现在将 S 视为以 d 为度量的空间，那么它显然是一个完备度量空间。

根据巴拿赫不动点定理，M 在 S 内有且仅有一个不动点，即该点恰好被印在它所表示的土地位置上。Q.E.D.

关于巴拿赫不动点定理的推广，请参见无穷维空间中的不动点定理。

参考文献

Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.

Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.

Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. John Wiley, New York. 2001. ISBN 978-0-471-41825-2. 

William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.

Bourbawiki上巴拿赫不动点定理的证明

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