标度不变与共形不变标度变换是共形变换之子集。标度变换下不变、但共形变换下变之量子场论例子罕见。而且在某些条件下，标度不变涵蕴共形不变。故量子场论研究员常混用标度不变与共形不变二词。二维共形场论二维共形场论有一无限维之局部共形变换群。例如，考虑黎曼球面上的共形场论：虽其变换群由各Moebius变换组成、同构于PSL(2,C)，但其无穷小共形变换则构成无限维之Witt代数。注意：大多共形场论量子化后会出现共形反常（又称Weyl反常）。此现象引进一非零之中心荷，因而Witt代数须扩展成Virasoro代数。此对称结构让我们更细致分类二维的共形场论。尤其我们可联繋一共形场论之原初算子与其中心荷c。各物理态组成之希尔伯特空间是Virasoro代数以c为定值之一幺正模.若要使整个系统穏定，则其Hamiltonian能谱应限于零上。最广为人用者是Virasoro代数之最高权表示。一手征场是一全纯场W(z...

参见同态态射单射、双射与满射

定义和基本性质设V和W是在相同域K上的向量空间。法则f:V→W被称为是线性映射，如果对于V中任何两个向量x和y与K中任何标量a，满足下列两个条件:这等价于要求对于任何向量x1,...,xm和标量a1,...,am，方程成立。偶尔的，V和W可被看作在不同域上的向量空间。那么必须指定哪些基础域要被用在“线性”的定义中。如果V和W被看作前面的域K上的空间，我们谈论的就是K-线性映射。例如，复数的共轭是R-线性映射C→C，而不是C-线性映射。从向量空间V到数域K的线性映射有一个特别的名字，叫做“线性泛函”。线性泛函分析就是将空间维度增加到无穷维（包括不可数无穷维）的高等线性代数。泛函分析最早研究的是有关向量空间V上的实值函数（不过它们一般是非线性映射）的变分学问题。从定义立即得出f(0)=0。因此线性映射有时叫做均匀线性映射(参见线性泛函)。不同作者的术语差异“线性变换”和“线性算子”是与“线性映...

内含映射内含映射倾向于代数结构的同态；更精确地说，给定一于某些运算下封闭的子结构，其内含映射将会是一个同态，因为由其定义可得出的一当然原因。例如，一二元运算@，其需要有因为@在子模型和大模型里的运算一致。在一元运算的情况下也是类似的；但也要注意零元运算，其给出一常数元素。这里的重点在于其封闭性，表示其常数必须于子结构内。微分几何中有多种不同的的内含映射，例如子流形的嵌入；由此可导出某些反变对象（例如微分形式）的“限制映射”，其方向恰好相反。在代数几何中的内含映射则稍复杂，此时不仅须考虑底层拓扑空间的映射，也须考虑结构层的同态，例如以下两个交换环谱的包含映射尽管拓扑上一致，却是不同的映射；其中R是交换环而I是其理想。另见恒等函数

定义固定概形V,W{\displaystyleV,W}。考虑所有的资料(U,f){\displaystyle(U,f)}，其中U⊂⊂-->V{\displaystyleU\subsetV}是稠密开集，而f:U→→-->W{\displaystylef:U\toW}是态射；这些资料代表了U{\displaystyleU}上“部分定义”的态射，U{\displaystyleU}代表f{\displaystylef}的定义域。定义下述等价关系：此外，注意到稠密性保证U∩∩-->U′{\displaystyleU\capU"}也是V{\displaystyleV}中的稠密开集。当V{\displaystyleV}不可约，则所有非空开集都是稠密的。若再假设V{\displaystyleV}既约而W{\displaystyleW}是分离概形，则任一等价类有唯一一个定义域最大...