数学描述

一维晶格

对于以a{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}为基矢的一维晶格，其倒格子的基矢为

二维晶格

对于以(a1,a2){\displaystyle ({\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}})}为基矢的二维晶格，定义其二维平面法线向量为n{\displaystyle {\boldsymbol {n}}}，其倒格子的基矢为

三维晶格

对三维晶格而言，我们定义素晶胞的基矢 (a1,a2,a3){\displaystyle ({\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}},{\boldsymbol {a_{3}}})}，可以用下列公式决定倒晶格的晶胞基矢(b1,b2,b3){\displaystyle ({\boldsymbol {b_{1}}},{\boldsymbol {b_{2}}},{\boldsymbol {b_{3}}})}

倒晶格与正晶格的关系

倒晶格与正晶格的基矢满足以下关系

定义三维中的倒晶格向量G

其中hkl为密勒指数，向量G的模长与正晶格的晶面间距有以下关系

向量G和正晶格向量R有以下关系

三维倒晶格中的晶胞体积ΩG和正晶格的晶胞体积Ω有以下关系

倒晶格的物理意义

在此以一维晶格为例。在一个以a{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}为基矢的一维晶格中，其波函数应该为布洛赫波

定义其倒晶格向量

以及一个函数

由于uk(x){\displaystyle u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})}是一个布洛赫波包，满足

所以

也是一个布洛赫波包。则波函数有以下性质

可见，倒晶格向量G描述了波函数在以k为基矢的动量空间（k空间）内的周期性。其向量单位，即倒晶格的基矢bi{\displaystyle {\boldsymbol {b_{i}}}}是描述k空间中平移对称性的基矢。其最小可重复单位，即倒晶格的晶胞，称为第一布里渊区。由于波矢k和动量与波函数对应的能量密切相关，在能带理论中也用来解释能带的周期性。

倒晶格与晶体衍射

晶体衍射满足布拉格定律

定义入射波波矢为k{\displaystyle {\boldsymbol {k}}}，则上述公式可变换为

因此满足布拉格定律的晶体衍射反映的不是正晶格，而是倒晶格。

进一步将以上公式转化为向量形式，定义入射波波矢为ki{\displaystyle {\boldsymbol {k_{i}}}}，反射波波矢为ko{\displaystyle {\boldsymbol {k_{o}}}}，可以得到

这个形式也和劳厄方程式相符。

常见布拉菲晶格的倒晶格

简单立方晶体

简单立方晶体的素格子基矢可以写成

体积为

可推得倒晶格的素格子基矢

所以简单立方晶体的倒晶格同样为简单立方晶体，但是晶格常数为 2π π -->a{\displaystyle 2\pi \over a}。

面心立方晶体(FCC)

面心立方晶体的素格子基矢可以写成下列三项

体积为

可推得倒晶格之素格子基矢

面心立方晶体的倒晶格为体心立方晶体。

体心立方晶体(BCC)

体心立方晶体的素格子基矢可以写成下列三项

体积为

可推得倒晶格之素格子基矢

可得知体心立方晶体之倒晶格为面心立方晶体。

在布拉菲晶格中,三轴互为九十度的(a1,a2,a3){\displaystyle ({\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}},{\boldsymbol {a_{3}}})} (立方, 正方, 斜方)的晶体结构,是很容易被证明其倒晶格空间之三轴(b1,b2,b3){\displaystyle ({\boldsymbol {b_{1}}},{\boldsymbol {b_{2}}},{\boldsymbol {b_{3}}})}与其真实晶格之三轴有垂直的关系.

外部链接

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。