定义

拓扑空间X，A，B⊆X，称B是A的 邻域 ，当且仅当以下条件之一成立：

存在开集C，使得A⊆C⊆B。

A⊆B 。（B 是B的内部）

注意：某些作者要求邻域是开集，所以在阅读文献时注意约定是很重要的。

如果 S 是 X 的子集， S 的 邻域 是集合 V ，它包含了包含 S 的开集 U 。可得出集合 V 是 S 的邻域，当且仅当它是在 S 中的所有点的邻域。

邻域的度量空间定义

平面上的集合 S 和 S 的一致邻域 V 。

在度量空间 M = ( X , d )中，集合 V 是点 p 的 邻域 ，如果存在以 p 为中心和半径为 r 的开球，

它被包含在 V 中。

一致邻域

V 叫做集合 S 的 一致邻域 （uniform neighborhood），如果存在正数 r 使得对于 S 的所有元素 p ，

被包含在 V 中。

对于 r >0集合 S 的 r -邻域 S r {\displaystyle S_{r}} 是 X 中与 S 的距离小于 r 的所有点的集合(或等价的说 S r {\displaystyle S_{r}} 是以 S 中一个点为中心半径为 r 的所有开球的并集)。

可直接得出 r -邻域是一致邻域，并且一个集合是一致邻域当且仅当它包含对某个 r 值的 r -邻域。 参见一致空间。

非一致邻域的例子

给定实数集合 R 带有平常的欧几里得度量和如下定义的子集 V

则 V 是自然数集合 N 的邻域，但它不是这个集合的均匀邻域，因为 r = 1 n {\displaystyle r={\frac {1}{n}}} 并不是一个固定值。

基于邻域的拓扑

上述定义适用于开集的概念早已定义的情况。有另一种方式来定义拓扑，也就是先定义邻域系统，再定义开集：若集中每个点皆有一个邻域被包含于集中，则为开集。

在 X 上的邻域系统是滤子 N(x) (在集合 X 上)到每个 X 中的 x 的指派，使得

点 x 是每个 N(x) 中的 U 的元素，

每个 N(x) 中的 U 包含某个 N(x) 中的 V 使得对于每个 V 中的 y 有着 U 在 N(y) 中。

可以证明这两个定义是兼容的，就是说从使用开集定义的邻域系统获得的拓扑就是最初的拓扑，反之从邻域系统出发亦然。

引用

Kelley, John L. General topology. New York: Springer-Verlag. 1975. ISBN 0387901256.

Bredon, Glen E. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0387979263.

Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. 2001. ISBN 0821826948.

参见

局部基

第一可数空间

管状邻域

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