定义

设 V 在域 K 上的 n 维向量空间。映射B:V× × -->V→ → -->K:(u,v)→ → -->B(u,v){\displaystyle B:V\times V\rightarrow K:(u,v)\rightarrow B(u,v)对称是这个空间上的对称双线性形式，如果:

B(u,v)=B(v,u) ∀ ∀ -->u,v∈ ∈ -->V{\displaystyle B(u,v)=B(v,u)\ \quad \forall u,v\in V}

B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w) ∀ ∀ -->u,v,w∈ ∈ -->V{\displaystyle B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \forall u,v,w\in V}

B(λ λ -->v,w)=λ λ -->B(v,w) ∀ ∀ -->λ λ -->∈ ∈ -->K,∀ ∀ -->v,w∈ ∈ -->V{\displaystyle B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\ \quad \forall \lambda \in K,\forall v,w\in V}

最后两个公理只蕴涵在第一个参数中的线性，但是第一个公理直接蕴涵了在第二个参数中的线性。

矩阵表示

设 C={e1,… … -->,en}{\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}} 是 V 的基。定义 n× × -->n{\displaystyle n\times n} 矩阵 A 通过 Aij=B(ei,ej){\displaystyle A_{ij}=B(e_{i},e_{j})\,}。矩阵 A 是对称的完全由于双线性形式的对称性。如果 n× × -->1{\displaystyle n\times 1} 矩阵 x 表示关于这个基的一个向量 v，类似的 y 表示 w，则 B(v,w){\displaystyle B(v,w)\,} 给出为:

假设 C" 是 V 的另一个基，有着可逆的 n× × -->n{\displaystyle n\times n} 矩阵 S 使得: [e1′⋯ ⋯ -->en′]=[e1⋯ ⋯ -->en]S{\displaystyle {\begin{bmatrix}e"_{1}&\cdots &e"_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S}。现在对称双线性形式的新矩阵表示给出为

正交性和奇异性

对称双线性形式总是自反的。定义两个向量 v 和 w 是关于双线性形式 B 是正交的，如果 B(v,w)=0{\displaystyle B(v,w)=0}，由于自反性它等价于 B(w,v)=0{\displaystyle B(w,v)=0}。

双线性形式 B 的根是正交于 V 中所有其他向量的向量的集合。你可以轻易查出它是 V 的子空间。在使用关于特定基的矩阵表示 A 的时候，由 x 表示的 v 在根中，当且仅当

矩阵 A 是奇异的，当且仅当根是不平凡的。

如果 W 是 V 的子空间，则正交于 W 中所有向量的集合 W⊥ ⊥ -->{\displaystyle W^{\perp }} 也是子空间。当 B 的根是平凡的时候，W⊥ ⊥ -->{\displaystyle W^{\perp }} 的维度是 n − dim(W)。

正交基

基 C={e1,… … -->,en}{\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}} 关于 B 是正交的，当且仅当:

在域的特征不是2的时候，总存在正交基。这可以通过归纳法证明。

基 C 是正交的，当且仅当矩阵表示 A 是对角矩阵。

西尔维斯特惯性定理与惯性指数

一般情况下，西尔维斯特发现的惯性定理声称，在K为有序域的时候，简化后的二次型的矩阵表示中的对角元素等于 0、正或负的数目独立于正交基的选择。后两个数被称为双线性形式的正、负惯性指数。

实数情况

当工作于在实数上的空间的时候，可以走的远一点。 设 C={e1,… … -->,en}{\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}} 是正交基。

我们定义一个新基 C′={e1′,… … -->,en′}{\displaystyle C"=\{e"_{1},\ldots ,e"_{n}\}}

现在，新矩阵表示 A 将是在对角线上只有 0,1 和 -1 的对角矩阵。零将出现当且仅当根是非平凡的。

复数情况

当工作于在复数之上的空间中的时候，可以相当容易的走的更远一点。 设 C={e1,… … -->,en}{\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}} 是正交基。

我们定义新的基 C′={e1′,… … -->,en′}{\displaystyle C"=\{e"_{1},\ldots ,e"_{n}\}} :

现在新矩阵表示 A 将是在对角线上只有 0 和 1 的对角矩阵。零将出现当且仅当根是非平凡的。

正交极性

设 B 是双线性形式，它带有不同于 2 的特征的域 K 上的空间 V 上的根。现在可以定义从 V 的所有子空间的集合 D(V) 到自身的映射:

这个映射是在投影空间 PG(W) 上的正交极性。反过来说，你可以证明所有正交极性可以用这种方式引出，并且带有平凡根的两个对称双线性形式引发同样的极化，当且仅当它们差一个标量乘法。

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