例子

多项式可以看做系数从某一项开始全是零的幂级数，例如多项式 f(x)=x2+2x+3{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3} 可以写成标准形式的幂级数：

也可以写成（c=1{\displaystyle c=1}）：

实际上，多项式可以写成在任意c附近展开的幂级数。就这个意义上说，幂级数是多项式的推广。

等比级数的公式给出了对|x|<1{\displaystyle |x|<1}，有

是幂级数中基本而又重要的一类。同样重要的还有指数的幂级数展开：

以及正弦函数（对所有实数x 成立）：

这些幂级数都属于泰勒级数。

幂级数里不包括负的幂次。例如1+x− − -->1+x− − -->2+⋯ ⋯ -->{\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots } 就不劳伦级数（它是一个劳伦级数分数同样的，幂次为分数的级数也不是幂级数。系数an{\displaystyle a_{n}}必须是和x无关，比如sin⁡ ⁡ -->(x)x+sin⁡ ⁡ -->(2x)x2+sin⁡ ⁡ -->(3x)x3+⋯ ⋯ -->{\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,}就不是一个幂级数。

敛散性

作为级数的一种，幂级数的敛散性也是研究幂级数的重点之一。对同一个幂级数，当变量x在复数中变化时，幂级数可能收敛，也可能发散。作为判断的依据，有：

证明：如果|x|0{\displaystyle (|a_{n}|r_{0}^{n})_{n\geq 0}} 有界，存在正实数M使得对任意的n，总有 0≤ ≤ -->|an|r0n≤ ≤ -->M{\displaystyle 0\leq |a_{n}|r_{0}^{n}\leq M}。所以：∑ ∑ -->n=0∞ ∞ -->|anxn|=∑ ∑ -->n=1∞ ∞ -->(|an|r0n)⋅ ⋅ -->(|x|r0)n{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}\,x^{n}|=\sum _{n=1}^{\infty }\left(|a_{n}|\,r_{0}^{n}\right)\cdot \left({\frac {|x|}{r_{0}}}\right)^{n}}  ≤ ≤ -->∑ ∑ -->n=0∞ ∞ -->M⋅ ⋅ -->(|x|r0)n{\displaystyle \ \ \leq \sum _{n=0}^{\infty }M\cdot \left({\frac {|x|}{r_{0}}}\right)^{n}}  =M⋅ ⋅ -->∑ ∑ -->n=0∞ ∞ -->(|x|r0)n{\displaystyle \ \ =M\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {|x|}{r_{0}}}\right)^{n}}正数比值|x|r0{\displaystyle {\frac {|x|}{r_{0}}}}严格小于1，因此上面的等比级数收敛，于是∑ ∑ -->n=0∞ ∞ -->anxn{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}绝对收敛。

按照引理，使得幂级数∑ ∑ -->n=0∞ ∞ -->anxn{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}收敛的复数的集合总是某个以原点为中心的圆（不包括边界），称为收敛圆盘，其边界称为收敛圆。具体来说，就是：

要么对所有的非零复数，∑ ∑ -->n=0∞ ∞ -->anxn{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}都发散；

要么存在一个正常数（包括正无穷）R{\displaystyle R}，使得当|x|n=0∞ ∞ -->anxn{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}绝对收敛，当|x|>R{\displaystyle |x|>R}时，∑ ∑ -->n=0∞ ∞ -->anxn{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}发散。

这个可以用来辨别幂级数是否收敛的常数 R{\displaystyle R} 被称为幂级数的收敛半径，当属于第一种情况时，规定收敛半径为零。

按照定义，对一个幂级数∑ ∑ -->n=0∞ ∞ -->anxn{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}，当|x|R{\displaystyle |x|>R}时（如果有的话），幂级数必然发散。但是如果|x|=R{\displaystyle |x|=R}（在收敛圆上）的话，这时幂级数的敛散性是无从判断的，只能具体分析。

根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R{\displaystyle R}满足：如果幂级数∑ ∑ -->anxn{\displaystyle \sum a_{n}x^{n}}满足limn→ → -->∞ ∞ -->an+1an=ρ ρ -->{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{a_{n+1} \over a_{n}}=\rho }，则：

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：

幂级数的运算

形式上，幂级数的加减法运算是将相应系数进行加减。

两个幂级数的乘积基于所谓的柯西乘积:

各种运算后，得到的幂级数的收敛半径是两个幂级数中的较小者。

一致收敛性

对一个收敛半径为R的幂级数∑ ∑ -->n=0∞ ∞ -->anxn{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}，可以证明，幂级数在收敛圆盘上一致收敛。这个性质称为内闭一致收敛。因此，考虑幂级数函数

它在收敛区间(-R,R)上是连续函数。

幂级数函数的求导和积分

可以证明，幂级数函数f在收敛区间上无穷次可导，并且可积。此外，由于幂级数函数f在收敛圆盘内一致收敛，可以进行逐项求导和积分，而且其导函数和积分函数都是在收敛区间上连续的幂级数函数。它们的收敛半径等于∑ ∑ -->n=0∞ ∞ -->anxn{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}的收敛半径R。具体形式为：

函数的幂级数展开

鉴于幂级数函数的良好分析性质以及对之深入的研究，如能将要研究的函数以幂级数形式来表示，将有助于对其性质的研究。然而，不是所有的函数都能展开为幂级数。一个函数在一点 c 附近可展（可以展开为幂级数），当且仅当存在正实数 R>0，使得在复平面中以 c 为圆心以 R 为半径的圆D(c,R) 内（不包括边界）有：

其中an{\displaystyle a_{n}}为确定的常数。

如果一个函数在某处可展，那么它在这点无穷可导（C∞ ∞ -->{\displaystyle C^{\infty }}），并且在这点附近的展开式是唯一的。

即是在这点的泰勒展开的第 n 项的值。这时展开得到的幂级数称为函数 f 在 c 点的泰勒级数。

函数的可展性

对于一般的无穷可导函数 f{\displaystyle f}，也可以写出幂级数∑ ∑ -->n=0+∞ ∞ -->f(n)(c)n!(x− − -->c)n{\displaystyle \sum _{n=0}^{+{\infty }}{f^{(n)}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}}，但即使这个幂级数收敛，其值也不一定等于 f{\displaystyle f}。例如函数f{\displaystyle f}：

可以证明 f{\displaystyle f} 无穷可导，并且在0处的每阶导数都是零，因此相应的幂级数∑ ∑ -->n=0+∞ ∞ -->f(n)(0)n!(x)n{\displaystyle \sum _{n=0}^{+{\infty }}{f^{(n)}(0) \over {n!}}(x)^{n}}恒等于0，不等于 f{\displaystyle f}。

函数可以展开成幂级数的充要条件是其泰勒展开的余项趋于零： Rn(x)=f(x)− − -->∑ ∑ -->n=0nf(n)(c)n!(x− − -->c)n→ → -->0{\displaystyle R_{n}(x)=f(x)-\sum _{n=0}^{n}{f^{(n)}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}\rightarrow 0}，

一个更常用到的充分条件是： 如果存在正实数r，使得 f{\displaystyle f} 在区间(c− − -->r,c+r){\displaystyle (c-r,c+r)} 上无穷可导，并且存在正数M使得对任意的 n，任意的x∈ ∈ -->(c− − -->r,c+r){\displaystyle x\in (c-r,c+r)} 都有

那么f{\displaystyle f}可以在c附近展开成幂级数：

常见函数的幂级数展开

以下是一些常见函数的幂级数展开。运用这些展开可以得到一些重要的恒等式。

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->C,ex=∑ ∑ -->n=0+∞ ∞ -->xnn!.{\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} ,\,e^{x}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{n}}{n!}}.}

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->R,cos⁡ ⁡ -->x=∑ ∑ -->n=0+∞ ∞ -->(− − -->1)nx2n(2n)!.{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\cos x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.}

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->R,sin⁡ ⁡ -->x=∑ ∑ -->n=0+∞ ∞ -->(− − -->1)nx2n+1(2n+1)!.{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\sin x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.}

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->R,chx=∑ ∑ -->n=0+∞ ∞ -->x2n(2n)!.{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\operatorname {ch} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.}

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->R,shx=∑ ∑ -->n=0+∞ ∞ -->x2n+1(2n+1)!.{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\operatorname {sh} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.}

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->D(0,1),11− − -->x=∑ ∑ -->n=0+∞ ∞ -->xn.{\displaystyle \forall x\in D(0,1),\,{1 \over {1-x}}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{x^{n}}.}

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->(− − -->1,1],ln⁡ ⁡ -->(1+x)=∑ ∑ -->n=1+∞ ∞ -->(− − -->1)n+1xnn.{\displaystyle \forall x\in (-1,1],\,\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{+{\infty }}(-1)^{n+1}{x^{n} \over {n}}.}

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->[− − -->1,1],arctanx=∑ ∑ -->n=0+∞ ∞ -->(− − -->1)nx2n+12n+1{\displaystyle \forall x\in [-1,1],\,\arctan \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}\;}，特别地，π π -->=4∑ ∑ -->n=0+∞ ∞ -->(− − -->1)n2n+1{\displaystyle \pi =4\,\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {(-1)^{n}}{2\,n+1}}}。

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->(− − -->1,1), ∀ ∀ -->α α -->∉N,(1+x)α α -->=1+∑ ∑ -->n=1+∞ ∞ -->α α -->(α α -->− − -->1)⋯ ⋯ -->(α α -->− − -->n+1)n!xn.{\displaystyle \forall x\in \,(-1,1),\ \forall \alpha \,\not \in \,\mathbb {N} ,\,(1+x)^{\alpha }\,=1\;+\;\sum _{n=1}^{+{\infty }}{{\frac {\alpha \,(\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\,x^{n}}.}

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->R,∀ ∀ -->α α -->∈ ∈ -->N,(1+x)α α -->=1+∑ ∑ -->n=1+∞ ∞ -->α α -->(α α -->− − -->1)⋯ ⋯ -->(α α -->− − -->n+1)n!xn=∑ ∑ -->n=0α α -->(α α -->n)xn.{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\forall \alpha \,\in \,\mathbb {N} ,\,(1+x)^{\alpha }\,=1\;+\;\sum _{n=1}^{+{\infty }}{{\frac {\alpha \,(\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\,x^{n}}=\sum _{n=0}^{\alpha }{{\alpha \choose n}\,x^{n}}.}

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->(− − -->1,1),artanhx=∑ ∑ -->n=0+∞ ∞ -->x2n+12n+1.{\displaystyle \forall x\in (-1,1),\,\operatorname {artanh} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}.}

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->(− − -->1,1),arcsinx=x+∑ ∑ -->n=1+∞ ∞ -->(∏ ∏ -->k=1n(2k− − -->1)∏ ∏ -->k=1n2k)x2n+12n+1{\displaystyle \forall x\in (-1,1),\,\arcsin \,x=x+\sum _{n=1}^{+{\infty }}\,\left({\frac {\prod _{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod _{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}}

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->(− − -->1,1),arsinhx=x+∑ ∑ -->n=0+∞ ∞ -->(− − -->1)n(∏ ∏ -->k=1n(2k− − -->1)∏ ∏ -->k=1n2k)x2n+12n+1{\displaystyle \forall x\in (-1,1),\,\operatorname {arsinh} \,x=x+\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,(-1)^{n}\,\left({\frac {\prod _{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod _{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}}

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->(− − -->π π -->2,π π -->2), tan⁡ ⁡ -->x=2π π -->∑ ∑ -->n=0+∞ ∞ -->(xπ π -->)2n+1(22n+2− − -->1)ζ ζ -->(2n+2){\displaystyle \forall x\in \,\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right),\ \tan x={\frac {2}{\pi }}\,\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,{\left({\frac {x}{\pi }}\right)}^{2\,n+1}(2^{2\,n+2}-1)\;\zeta (2\,n+2)}，其中∀ ∀ -->p>1,ζ ζ -->(p)=∑ ∑ -->n=1+∞ ∞ -->1np{\displaystyle \forall p>1,\,\zeta (p)=\sum _{n=1}^{+{\infty }}\,{\frac {1}{n^{p}}}}

幂级数与解析函数

局部上由收敛幂级数给出的函数叫做解析函数。解析函数可分成实解析函数与复解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数，并且在所有点上都可展。根据零点孤立原理，解析函数的零点必然是孤立点。在复分析中，所有的全纯函数（即复可微函数）都是无穷可微函数，并是复解析函数，这在实分析中则不然。

形式幂级数

在抽象代数中，幂级数研究的重点是其作为一个半环的代数性质。幂级数的系数域是实数或复数或其它的域不再重要，敛散性也不再讨论。这样抽离出的代数概念被称为形式幂级数。形式幂级数在组合代数有重要用处，例如作为母函数而运用在许多组合恒等式的推导中。

多元幂级数

幂级数概念在多元微积分学中的一个推广是多元幂级数：

其中j = (j1, ..., jn)是一个系数为非负整数的向量。系数a(j1,...,jn)通常是实数或复数。c = (c1, ..., cn)和变量x = (x1, ..., xn) 是实数或复数系数的向量。在多重下标的表示法中，则有

参见

泰勒级数

解析函数

阿贝尔定理

零点孤立原理

参考来源

幂级数介绍

幂级数展开

幂级数与泰勒展开

Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d"une ou plusieurs variables complexes

Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal

John H. Mathews、Russell W. Howell, COMPLEX ANALYSIS: for Mathematics and Engineering, 第5版, 2006

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