定义

一个随机过程X={Xt:t≥ ≥ -->0}{\displaystyle X=\{X_{t}:t\geq 0\}}莱维个莱维过程如果符合以下条件：

X0=0{\displaystyle X_{0}=0\,}几乎确定。

独立增量：对任何0≤ ≤ -->t1<t2<tn{\displaystyle 0\leq t_{1}, Xt2− − -->Xt1,Xt3− − -->Xt2,… … -->,Xtn− − -->Xtn− − -->1{\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}}相互独立。

稳定增量：对任何sXs{\displaystyle X_{t}-X_{s}\,}与Xt− − -->s{\displaystyle X_{t-s}\,}有相同分布

t↦ ↦ -->Xt{\displaystyle t\mapsto X_{t}} is几乎确定右连左极.

性质

独立增量

设Xt是一个连续时间上的随机过程。也就是说，对于任何固定的t ≥ 0，Xt是一个随机变量。过程的增量为差值Xs − Xt（任意的时间t t > u > v，Xs − Xt和Xu − Xv相独立。

稳定增量

如果增量Xs − Xt的分布只依赖于时间间隔s − t，则称增量是稳定的。

例如，对于维纳过程，增量Xs − Xt服从均值为0，方差为s − t的正态分布。

对于泊松过程，增量Xs − Xt服从指数为s − t的泊松分布

可分性

Lévy过程与无限可分分布有关：

增量的分布是无穷可分的。即对任意给定的n，Xt的分布可以表示为n个与Xt/n同分布的随机变量的和的分布。

反之，对于每个无穷可分的分布，可以构造出一个与之对应的Lévy过程。

矩

当Lévy过程的n阶矩μ μ -->n(t)=E(Xtn){\displaystyle \mu _{n}(t)=E(X_{t}^{n})}存在有限时， 它满足二项式等式：

例子

Wiener过程

定义X为维纳过程（或者标准布朗运动） 当且仅当

对任何t≥ ≥ -->0{\displaystyle \scriptstyle t\geq 0}， 随机变量Xt{\displaystyle X_{t}}服从正态分布N(0,t){\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}(0,t)},

它的轨迹是几乎处处连续的；即， 对于几乎所有的事件ω ω -->{\displaystyle \scriptstyle \omega }，关于t的函数ω ω -->↦ ↦ -->Xt(ω ω -->){\displaystyle \scriptstyle \omega \mapsto X_{t}(\omega )}是连续的。

性质

它的傅立叶变换为：

其他性质可参考词条布朗运动。

复合Poisson过程

定义X为一个实参数为c≥ ≥ -->0{\displaystyle \scriptstyle c\geq 0}，测度为ν ν -->{\displaystyle \scriptstyle \nu }复合泊松过程（英语：Compound Poisson process）当且仅当它的傅立叶变换为：

性质

参数为 c≥ ≥ -->0{\displaystyle \scriptstyle c\geq 0}，测度为Dirac测度（英语：Dirac measure）ν ν -->=δ δ -->1{\displaystyle \scriptstyle \nu =\delta _{1}}的复合泊松过程为泊松过程.

设N为参数为c≥ ≥ -->0{\displaystyle \scriptstyle c\geq 0}的泊松过程，Sn=∑ ∑ -->k=0nYk{\displaystyle \scriptstyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}Y_{随机游走一个随机游走（Y1{\displaystyle \scriptstyle Y_{1}}的分布为ν ν -->{\displaystyle \scriptstyle \nu }），那么Xt=SNt{\displaystyle \scriptstyle X_{t}=S_{N_{t}}}为一个复合泊松过程。

参考来源

翻译自英语、法语版维基词条。

Ken-iti Sato. Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions,Cambridge University Press, 1999

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