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拉格朗日中值定理的几何意义

文字叙述

如果函数f(x){\displaystyle f(x)}满足：

在闭区间[a,b]{\displaystyle [a,b]}上连续;

在开区间(a,b){\displaystyle (a,b)}内可导;

那么在(a,b){\displaystyle (a,b)}内至少有一点ξ ξ -->(a<b){\displaystyle \xi (a ，使等式

成立。

逻辑语言的叙述

若函数f(x){\displaystyle f(x)}满足：

f(x)∈ ∈ -->C[a,b]{\displaystyle f(x)\in C[a,b]};

f(x)∈ ∈ -->D(a,b){\displaystyle f(x)\in D(a,b)};

则∃ ∃ -->ξ ξ -->∈ ∈ -->(a,b),s.t{\displaystyle \exists \xi \in (a,b),s.t}

证明

令g(x)=f(b)− − -->f(a)b− − -->a⋅ ⋅ -->(x− − -->a)+f(a)− − -->f(x){\displaystyle g(x)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot (x-a)+f(a)-f(x)}。那么

g{\displaystyle g}在[a,b]{\displaystyle [a,b]}上连续，

g{\displaystyle g}在(a,b){\displaystyle (a,b)}上可微（导），

g(a)=g(b)=0{\displaystyle g(a)=g(b)=0}。由罗尔定理，存在一点ξ ξ -->∈ ∈ -->(a,b){\displaystyle \xi \in (a,b)}，使得g′(ξ ξ -->)=0{\displaystyle g"(\xi )=0}。即f′(ξ ξ -->)=f(b)− − -->f(a)b− − -->a{\displaystyle f"(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}。

其他形式

1.f(b)− − -->f(a)=f′ ′ -->(a+θ θ -->(b− − -->a))(b− − -->a),0<1{\displaystyle f(b)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta (b-a))(b-a),0 ;

2. f(a+h)− − -->f(a)=f′ ′ -->(a+θ θ -->h)h,0x)− − -->f(x)=f′ ′ -->(x+θ θ -->Δ Δ -->x)Δ Δ -->x,0<1{\displaystyle f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime }(x+\theta \Delta x)\Delta x,0 .

另请参见

中值定理

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